2025年山西省朔州市应县部分学校中考第二次模拟数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年山西省朔州市应县部分学校中考第二次模拟数学试卷（附答案解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．2B．C．D．
2．太原市涌现出一批娇小可爱且绿意盎然的“口袋公园”，它们或散落、或隐藏在城市结构中，为市民服务．无论是清晨傍晚的锻炼，还是茶余饭后的散步，口袋公园都是一个好的去处．在某一个公园放置了如图所示的凳子供大家休息，它是由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，合肥瑶海区第三十八中学为了解全校1200名七年级学生的睡眠时间，从25个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ）
A．1200名七年级学生的睡眠时间是总体B．100是样本容量
C．25个班级是抽取的一个样本D．每名七年级学生的睡眠时间是个体
4．下列运算正确的是（ ）
A． =±6B．4﹣3=1C．=6D．=6
5．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支开时支撑杆与桌面的夹角且，则此时座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．克B．克C．克D．克
7．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积和它们的质量，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种液体中密度最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ）
A．平分B．
C．是等边三角形D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ．
13．窗是我国传统建筑中最重要的构成要素之一，窗的类型很多，如图1是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则之间的距离为 dm．
14．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
15．如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
17．如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接与交于点， ，，
．下面是两位同学的对话，请选择一位同学的说法，并证明．
18．近年来，随着汾河太原段流域生态环境和水质的不断改善，吸引了越来越多的野生鸟类在这里安家，白鹭、灰鹳、鸬鹚等大型野生鸟类，由原来的候鸟成为这里的“留鸟”，春日还出现了树上“结”满水鸟的美景．为了加强孩子保护环境的意识，某校举办了“珍爱自然，保护环境，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，94，93，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）；
(3)现从本次抽查的七八年级学生成绩为D组的学生中任选两人作为志愿者普及环保知识，求选到的两人都是八年级的概率为多少．
19．黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点处，三片扇叶两两所成的角为，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点处安放测角仪（测角仪高度米），当扇叶恰好与塔杆重合时，测得扇叶的末端点的仰角为，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据，，，）

20．综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
21．某大型品牌书城购买了、两种新出版书籍，已知每本书籍的进价是书籍的两倍，商家用1800元购买的书籍的数量比用1200元购买的书籍的数量少20本．
(1)求商家购买每本书籍和每本书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当书籍的售价为每本39元，书籍的售价为每本24元时，平均每天可卖出50本书籍，25本书籍．据统计，书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进的销量，想使书籍和书籍平均每天的总获利为775元且书籍的售价不低于21元，则每本书籍的售价为多少元？
22．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：

(1)如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点．
(1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由．
(2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点．
①求证：．
②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______．
(3)若点落在直线上，请直接写出的长．
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
91
29.8
八年级
91
95
17.8
《山西省朔州市应县部分学校2025年中考第二次模拟数学试卷》参考答案
1．A
【分析】根据绝对值运算法则：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数即可得．
【详解】由绝对值运算法则得：
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值运算，熟记运算法则是解题关键．
2．D
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上到下看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的用虚线表示．
【详解】解：由图可知，俯视图为：
故选D．
3．C
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、1200名七年级学生的睡眠时间是总体，正确，不符合题意；
B、100是样本容量，正确，不符合题意；
C、100名七年级学生的睡眠时间是抽取的一个样本，原说法错误，符合题意；
D、每个七年级学生的睡眠时间是个体，正确，不符合题意．
故选：C．
4．D
【分析】由算术平方根的含义判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D．
【详解】解： 故A错误，
故B错误，
故C错误，
故D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等
．先根据，，得出，然后根据角度间的关系，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．D
【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是．
【详解】解：粒粟的重量大约为克，
一粒粟的重量约为．
故选：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键．
7．A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
【详解】解：点为的中点，
，
，
，
∵直线与相切，
，
，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系；
本题根据二元一次方程组的应用的知识进行作答，即可求解；
【详解】解：设甲有x石，乙有y石，
由题意可得：，
故选：C；
9．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出，，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由图象得出，，
∴，，，
∴丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度，
∴这四种液体中密度最大的是丙，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；故选项B正确；
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平分；故选项A正确；
∵，
∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误；
故选C．
11．
【分析】本题考查提公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键．
根据提公因式，平方差公式逐步进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得．
【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，
∴与的位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即为．
故答案为：
13．
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点O，证明为等边三角形，从而CD=CO=35dm，同理可得AF=AO=35dm，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接与交于点O，

∵为正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正六边形的周长约为185dm，
∴CD=1856=35(dm)，
∴CD=CO=35dm，
同理可得AF=AO=35dm，
∴AD=AO+DO=65dm．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解：，
则C的坐标是，
设反比例函数的解析式是，
把C的坐标代入得，
则反比例函数解析式是，
∵上口宽，
∴点F的横坐为，
当时，．
答：整个冷却塔的高是．
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论．
【详解】解：作交于点H，
，
，
是的中点，
，
∵D是边上的中点，，
∴，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴（负值舍去），
，
∵是的中点，
，
，
∵，
∴，即，
，
故答案为：．
16．（1）；（2），见解析
【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．
（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并同类项即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后将其在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
17．①选小明，证明见解析；②选小聪，证明见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键．
①选小明，利用证明△AFB≌△CEBASA，得到，即可解答；②选小聪利用证明△AFB≌△CEBAAS，得到，即可解答．
【详解】证明：①选小明，理由如下：
，，
．
在和中，
∠AFB=∠CEB,BF=BE,∠B=∠B,
∴△AFB≌△CEBASA．
．
平行四边形是菱形．
②选小聪，理由如下：
，，
．
在和中，
∠AFB=∠CEB,∠B=∠B,AF=CE,
∴△AFB≌△CEBAAS．
．
平行四边形是菱形．
18．(1)30，92.5，93
(2)八年级学生掌握知识较好，理由：由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定，八年级学生掌握知识较好（答案不唯一）
(3)选到的两人都是八年级的概率为
【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，利用方差作决策，树状图法或列表法求解概率，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数、方差的意义求解即可（答案不唯一）；
（3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人都是八年级的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题知，八年级组所占百分比为：．
八年级组所占百分比为：，
，
七年级10名学生的成绩中出现次数最多，
，
∵八年级组的人数为（人），组的人数为（人），
由中位数定义可知；
故答案为：，，；
（2）解：八年级学生掌握知识较好，
由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定，八年级学生掌握知识较好（答案不唯一）；
（3）解：七年级组的人数为人，八年级组的人数为（人）
将七年级组的人用表示，八年级组的人用表示，
画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中选到的两人都是八年级的结果有6种，
∴选到的两人都是八年级的概率是．
答：选到的两人都是八年级的概率为．
19．点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，点B作水平面的垂线，垂线与交于点D，过点O作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴， ．
∵，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴点O到地面的距离约为米，在45米到50米之间，该发电机机舱的高度合适．
20．(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
21．(1)商家购买每本书籍的进价为30元，购买每本书籍的进价为15元．
(2)每本书籍的售价为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设商家购买每本书籍的进价为元，则购买每本书籍的进价为元，根据商家用1800元购买的书籍的数量比用1200元购买的书籍的数量少20本建立方程，解方程求出的值，由此即可得；
（2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据使书籍和书籍平均每天的总获利为775元列方程并解方程求出的值，再根据书籍的售价不低于21元，选择值即可．
【详解】（1）解：设商家购买每本书籍的进价为元，则购买每本书籍的进价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：商家购买每本书籍的进价为30元，购买每本书籍的进价为15元．
（2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，
由题意得：，
解得或，
∵书籍的售价不低于21元，，
∴，
答：每本书籍的售价为元．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得和，结合对称轴利用待定系数法即可求得解析式，
（2）根据题意得点的纵坐标为，即可求得点R的横坐标，结合题意得的横坐标，则有点的横坐标，即可求得；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意设直线的解析式为，联立方程组得，由于抛物线与直线相切，则有，解得m，即可求得．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：；
（2）∵，
∴点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形是正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
；
（3）如图，取最右侧光线与抛物线切点为，

设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中的得，
即，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、正方形的性质、解一元二次方程以及一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练二次函数的性质和点的几何意义．
23．(1)，理由见解析
(2)①见解析；②
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，进而证明，即可得出；
（2）①过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可得，进而得，得，由旋转可知，因此，进而证明，即可得出结论；
②过点作于点，根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，先证明，得，由①得，，即，求出即可；
（3）分两种情况进行讨论，第一种情况，过点作于点，过点作于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长； 第二种情况，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长．
【详解】（1），理由如下：
矩形中，，是对角线，，，
，
，
由旋转的性质可得，，，，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点作于点，连接，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
又，，
，
由旋转可知，，
，
，，
，
；
②如图所示，过点作于点，
根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，
由旋转的性质可得，，，
，
，
又，，
，
，
，
由①得，，
；
（3）分两种情况进行讨论，
第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点，
，，矩形，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，，
，，
；
第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
，，矩形，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，，
，，
，
综上所述，的长为或 ．
【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
C
D
A
C
C
C