福建省莆田市2024-2025学年九年级上学期返校考卷数学试题（解析版）

这是一份福建省莆田市2024-2025学年九年级上学期返校考卷数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】C
【解析】A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ）
A. 1B. 3C. -1D. -2
【答案】A
【解析】将代入原方程得，
，
解得．
故选：A
4. 已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误；
B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确；
C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误；
D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误；
故选：B．
5. 下列配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．故选C．
6. 如图，，若，，则的度数是（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，故选C．
7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．故选：D．
8. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ）

A. 0.8B. 0.72C. 1.8D. 2
【答案】B
【解析】
，
，
，故选：B
9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ）
A. 1轮后有个人患了流感
B. 第2轮又增加个人患流感
C. 依题意可以列方程
D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【答案】D
【解析】A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确；
B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确；
C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确；
D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误；故选：D．
10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，
∵四边形是正方形，
，
∵点为中点，
，
又∵，
，
∴在中，由勾股定理，可得，
即，
整理可得，
解得：(舍去)，
，
故选：D．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11. 方程的解是________．
【答案】，
【解析】
则或，
解得，
故答案为：，
12. 如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于_________．
【答案】4
【解析】点为的中点，
，
∵在平行四边形中，，，
，，
，
，
，
．
故答案为：4．
13. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________．
【答案】
【解析】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．故答案为：．
14. 如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为________．
【答案】
【解析】∵、，
∴，
∵将以坐标原点O为位似中心扩大到，
∴位似比为：，
∵，
∴点C的坐标为：，
故答案为：．
15. 小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为________．
【答案】10
【解析】如图，
由第一个图可得，则，
由第二个图可得，则，
∴，
解得：，负值舍去，
故答案为：10．
16. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连接，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③.其中正确的是_____________________.
【答案】①
【解析】①设，
是等腰直角三角形，，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故结论①正确；
②，
，
，
，
故结论②错误；
③，
，
，
，
，
，
要使成立，即使成立，
即使成立，
即使，
但不一定与相等，
不一定成立，
不一定成立，
故结论③错误，
综上所述：正确的结论是①．
故答案为：①
三、解答题(本大题共9小题，共86分)
17. 解方程
（1）
（2）
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
18. 如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
证明：选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
19. 已知关于x的方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求的值．
（1）证明：∵关于x的方程（m为常数）．
∴，即，
∴不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是，
，
，
．
20. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度．
解：延长交于点，如解图所示．
依题意，米，米．
设这条河的宽度为米．
，
．
，
即，
解得．
答：这条河的宽度为30米．
21. 如图，在中，，．
（1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长．
（1）解：如图所示，作，交于点，
根据作图可得
又∵
∴；
（2）解：∵
∴
∵，．
∴
解得：
22. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
23. 求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：（______）______；
（2）如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
（3）如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米?
（1）解：由题知，，
故答案为：，．
（2）解：由题知，，
，
，
，
．
（3）解：，
由题知，，
矩形的面积；
，
，
，
当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米．
24. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为
，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
（1）解：解方程得：
，，
，
方程是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
（2）解：程的两个根为，，
一元二次方程是“倍根方程”，
，
，，
，，
，
；
（3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
，，
，
解得或（舍去），
，
或，，
，
解得或（舍去），
，
这个方程的根是2、4或、．
25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长．
【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，连接、分别交于M，N，，，若，求的值．

（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴．
（3）解：延长与延长线交于点，

∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
令，则，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，则，
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，∴．