黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，则复数的虚部为
A．B．1C．2D．
3．已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4. 已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
5．在中，所对的边分别为，若，，，则的面积为
A．B．C．D．2
6．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由模的平方得数量积与的关系，再代入投影向量公式可得.
【详解】因为平方得，,
又，则化简得，
故在方向上的投影向量是.
故选：D．
7．正方体的棱长为是棱的中点，是侧面内一点，且平面，则长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
8．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若向量，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．与的夹角为
【答案】BC
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为60°
C．直线与平面所成的角为45°
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】BC
11．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（ ）
A．该石凳的表面积为
B．该石凳的体积为
C．直线与的夹角为
D．平面
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为．
【答案】
【详解】因为，不妨设，
在三角形中，大边对大角，所以最大角为，
根据余弦定理，.
故答案为：.
13．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为.

14．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为点G为重心，可得，
又因为三点共线，所以，
所以，
当时，等号成立，所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据有的关系得到，从而得到的坐标；
（2）由与垂直得，根据向量夹角公式求解.
【详解】（1）由，得，
又，所以
因为，所以，
所以或
（2）因为与垂直，所以，
即，
将，代入，得，
所以，
又，得，即与的夹角为.
16．在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
(1)求和的值；
(2)求的值；
【答案】(1)；
(2)10
(3)
【分析】（1）根据单位圆中正弦和余弦的定义，同角三角函数的平方关系，两角差的正切公式及二倍角公式即可求解；
（2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及即可求解；
（3）根据两角和的正弦余弦公式即可求解．
【详解】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为，
所以，
则点的横坐标为，点的纵坐标为，
因此；
，
．
（2）由（1）知，．
17．如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可；
（2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，故，
平面，平面，故平面.
（2）取中点为，连接，，为的中点，
故，而底面，
故底面，底面，故；
又为的中点，则，而，即，
故，
而，平面，平面，
故平面，
又平面，故，即.
18．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
(1)求;
(2)若,D为边AC上一点,且．求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由倍角公式得
所以
即
即
（2）
不妨设,则
所以,由题知
设,则①
在中由余弦定理得
在中由余弦定理得
因为,所以
即②,联立①②，解得
所以
19．为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，，
(1)若m，求的长；
(2)若，求的值；
(3)求微型游乐场面积的最小值.
【答案】(1)5m
(2)
(3)
【分析】（1）借助锐角三角函数定义，余弦定理计算即可；
（2）运用正弦定理，结合三角恒等变换公式化简计算即可；
（3）三角形的边长用表示，后用面积公式，转化为三角函数解题即可.
【详解】（1）因为，
得，又，所以．
若,在中，由余弦定理，得，
解得,所以，所以，
所以为等腰三角形，所以DE=5m．
（2）设,在中，由正弦定理，得,
同理,
又,所以，
所以,
即,又，所以，即，所以．
（3）设,由（2）知，
又,
所以，
当且仅当，即当时，的面积取最小值为．