河南省周口市扶沟县高级中学2025届高三下学期4月质量检测数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数，则（ ）
2. 已知集合，，则（ ）
3. 已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
4. 在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
5. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
6. 已知正三棱台的体积为，底面的面积为，三条侧棱的延长线交于点M，且，则该三棱台外接球的表面积为（ ）
7. 将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（ ）
8. 已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. 在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在的展开式中有理项的系数的和为__________．
13. 已知数列的前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则__________．
14. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，A为C上一点，若，且，则C的离心率为__________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值．
16. 小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
17. 如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 已知，在椭圆（，）上．
(1)求E的方程；
(2)若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值；
(3)过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点．
19. 已知函数，，，若存在区间I，对，恒成立，则称在I上具有性质．
(1)若，，且，，求k的值；
(2)若，，，判断在区间上是否具有性质；
(3)若，，，证明，是在上具有性质的必要条件．
河南省周口市扶沟县高级中学2025届高三下学期4月质量检测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、平面解析几何、平面向量、空间向量与立体几何、数列、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．3
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．0
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．该组数据的分位数为
B．该组数据的中位数小于其平均数
C．若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等
D．若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍
A．
B．
C．在上单调递减
D．，为偶函数
A．C关于x轴和y轴均对称
B．的面积的最大值为
C．周长的最小值为6c
D．的取值范围为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
14
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；求二次函数的值域或最值
3
0.85
直线过定点问题；圆的弦长与中点弦；已知直线垂直求参数
4
0.65
向量的线性运算的几何应用；数量积的运算律
5
0.65
基本不等式“1”的妙用求最值
6
0.65
台体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
7
0.65
求过一点的切线方程；简单复合函数的导数
8
0.65
求抛物线的切线方程
二、多选题
9
0.85
等比数列通项公式的基本量计算；计算几个数的中位数；计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计
10
0.65
函数奇偶性的定义与判断；二倍角的余弦公式；辅助角公式；求sinx型三角函数的单调性
11
0.65
由方程研究曲线的性质；求平面轨迹方程
三、填空题
12
0.65
求有理项或其系数
13
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；利用an与sn关系求通项或项
14
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
16
0.65
独立事件的乘法公式；均值的性质；两点分布的均值
17
0.65
空间位置关系的向量证明；已知面面角求其他量；面面角的向量求法
18
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的直线过定点问题；根据椭圆过的点求标准方程
19
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
等式与不等式
2,5
4
函数与导数
2,7,10,19
5
平面解析几何
3,8,11,14,18
6
平面向量
4
7
空间向量与立体几何
6,17
8
数列
9,13
9
计数原理与概率统计
9,12,16
10
三角函数与解三角形
10,15