北京市昌平区2024-2025学年高三下学期第二次质量抽测数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知全集，集合，，则=（ ）．
2. 若复数，则复数的共轭复数（ ）．
3. 若，则（ ）．
4. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则（ ）．
5. 设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（ ）．
6. 已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（ ）．
7. 庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（ ）．
8. 设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）．
9. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）．
10. 在数列中，，则（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____．
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____．
13. 已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____．
14. 如图，正方形的边长为1，点在直线上．是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，．．．，依次类推，其中点，共线，点，共线，点共线，点共线．则的长度为_____；由上述圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，曲线长度的最小值为_____．
15. 已知曲线，给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过；
③曲线与直线围成图形的面积小于5；
④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．
(1)求证：；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．
条件①：平面；
条件②：．
18. 在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．
(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；
(2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．
20. 已知函数，其中．
(1)当时，
①若，求函数的最大值；
②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：；
(2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围．
21. 设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列．
(1)写出所有，使得数列是、的可分数列；
(2)当时，证明：数列是的可分数列；
(3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值．
北京市昌平区2024-2025学年高三下学期第二次质量抽测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、数列、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．0
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．（，1）
D．
A．当时，对于任意的正整数
B．当时，存在正整数，当时，
C．当时，对于任意的正整数
D．当时，存在正整数，当时，
使用次数分组区间
初中生人
高中生人
4
3
38
29
48
28
17
6
3
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
2
较易
6
适中
9
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；补集的概念及运算；区间的定义与表示
2
0.94
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.94
二项展开式各项的系数和
4
0.65
比较指数幂的大小；比较对数式的大小
5
0.85
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
6
0.65
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；求点到直线的距离
7
0.65
由二面角大小求线段长度或距离
8
0.65
充要条件的证明；等比数列的单调性
9
0.4
根据函数零点的个数求参数范围
10
0.4
根据数列递推公式写出数列的项；由递推数列研究数列的有关性质
二、填空题
11
0.85
求双曲线的焦点坐标；根据抛物线方程求焦点或准线
12
0.85
数量积的坐标表示
13
0.65
利用csx（型）函数的对称性求参数；求图象变化前（后）的解析式
14
0.65
弧长的有关计算
15
0.65
函数与导函数图象之间的关系；由方程研究曲线的性质；利用导数求函数的单调区间（不含参）
三、解答题
16
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
17
0.85
面面垂直证线面垂直；面面角的向量求法；线面垂直证明线线垂直；线面平行的性质
18
0.65
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；二项分布的方差
19
0.4
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题
20
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；根据极值点求参数；求过一点的切线方程
21
0.4
实际问题中的组合计数问题；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,8
2
函数与导数
1,4,9,15,20
3
复数
2
4
计数原理与概率统计
3,18,21
5
三角函数与解三角形
5,13,14,16
6
平面解析几何
6,11,15,19
7
空间向量与立体几何
7,17
8
数列
8,10,21
9
平面向量
12