山东省青岛五十八中高新学校2025届高三下二模数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，则=
2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
4. 展开式中的系数为
5. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
6. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
7. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
8. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数若的最小值为，则（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为________.
13. 已知函数，则的最小值是_____________．
14. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面
(1)证明：平面
(2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
16. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
17. 如图，内一点满足.
(1)若，求的值；
(2)若，求的长.
18. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
19. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
山东省青岛五十八中高新学校2025届高三二模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面向量、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递增
C．
D．函数的最小值为
A．的图象关于点对称
B．的最小正周期为
C．的最小值为
D．在上有四个不同的实数解
A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为
B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大
C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
6
较难
4
困难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集
2
0.85
向量在几何中的应用
3
0.94
实轴、虚轴上点对应的复数
4
0.85
求指定项的系数
5
0.85
求csx型三角函数的单调性；由图象确定正（余）弦型函数解析式
6
0.65
判断正方体的截面形状；线面角的概念及辨析
7
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程；由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
8
0.15
判断数列的增减性
二、多选题
9
0.65
利用函数单调性求最值或值域；求二次函数的值域或最值；基本不等式求和的最小值；根据解析式直接判断函数的单调性
10
0.4
三角函数图象的综合应用；求正弦（型）函数的最小正周期；辅助角公式
11
0.4
组合数的性质及应用；杨辉三角；二项式的系数和
三、填空题
12
0.85
利用an与sn关系求通项或项
13
0.4
由导数求函数的最值（不含参）
14
0.4
柱、锥、台的体积；锥体体积的有关计算
四、解答题
15
0.65
求二面角；面面角的向量求法；证明线面垂直
16
0.15
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的零点
17
0.65
三角函数与解三角形综合；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
18
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的直线过定点问题；根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的定值问题
19
0.15
由递推关系证明等比数列；写出简单离散型随机变量分布列；累加法求数列通项
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
平面向量
2
3
复数
3
4
计数原理与概率统计
4,11,19
5
三角函数与解三角形
5,10,17
6
空间向量与立体几何
6,14,15
7
平面解析几何
7,18
8
数列
8,12,19
9
函数与导数
9,13,16
10
等式与不等式
9