湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘晖 周芳芳 常君 屈检嗣 李斑 郝楠楠
审题人：李云皇 汤灏 张博 伊波 肖海错 陈智 刘志涛 赵志会
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果.
【详解】因为 ，故 .
故选：D.
2. 记复数 的共轭复数为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解.
【详解】由 ，得 ，所以 .
故选：A
3. 设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，当 时， ，因此 ，故选 B.
4. 已知数列 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用递推关系和迭代法，依次求出前五项，通过归纳法可得通项公式，并进行检验，然后作出判
断即可.
【详解】由 ，可得：
以此类推，可归纳 ，
经检验，当 时，有 ，所以仍然满足
，故 ，
故选：B.
5. 已知平面内三点 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先表示出 、 的坐标，即可求出 及 ，再根据投影向量的定义计算可得.
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【详解】因为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以向量 在 上的投影向量为 .
故选：A
6. 当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分别画出 与 在 上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，所以函数 在 上有 1 个周期的图象，
因为函数 的最小正周期为 ，
所以函数 在 上有 3 个周期的图象，
在平面直角坐标系中，作出两函数在 上的图象，如图所示：
由图可知，曲线 与 有 6 个交点.
故选：C.
7. 已知函数 ，若 ，则（ ）
A. B.
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C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用求导判断单调性，再借助 ，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
根据 ， ，
当 时， ，可作出图象：
所以当 时， ，
根据图象可知 ， ，
所以恒有 ，故 B 正确，
由于 ， ，所以 ，故 C 错误，
故选：B.
8. 已知双曲线 的上焦点为 ，过 的直线 与 的两条渐近线 分别交于第一，
四象限的 两点，满足 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用渐近线方程和垂线 联立方程组来求解两个交点的横坐标，再结合两点弦长公式，可利用
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得到方程求解 ，则即可求离心率.
【详解】
由双曲线 可得渐近线方程为 ，
即 ，
因为 所以可设 ，
联立： ，解得 ，
联立： ，解得 ，
由于这个交点在第四象限，所以 ，即
所以 ，
化简得： ，
再化简得： ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
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即离心率 ，
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 抛物线 的焦点为 ，准线为 为 上两个动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 焦点 的坐标为
B. 准线 的方程为
C. 若直线 经过点 ，则 的最小值为
D. 以 为直径的圆与准线 最多有 1 个公共点
【答案】BCD
【解析】
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可判断 A、B，根据焦点弦的性质判断 C，设 的中
点为 ， 、 、 到准线 的距离分别为 、 、 ，根据抛物线的定义得到 ，即可判断
D.
【详解】对于 A、B：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故 A 错误，B 正确；
对于 C：直线 经过点 ，当 轴时， 取得最小值，且最小值为 ，故 C 正确；
对于 D：设 的中点为 ， 、 、 到准线 的距离分别为 、 、 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以以 为直径的圆与准线 最多有 1 个公共点，故 D 正确.
故选：BCD.
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10. 已知函数 定义域为 ，且 的图象关于点 对称，函数 关于直线 对
称，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，逐项判断即可.
【详解】由函数 关于直线 对称，可得 ，
即 ，则函数 关于直线 对称，故选项 C 正确；
由 的图象关于点 对称，可得 ，
即 ，以 2x 代换 x，则 ，
所以函数 关于点 对称，可得 ，即 ，
结合 可得 ，
所以 ，故选项 B 正确.
所以 是周期函数，且周期为 4，其图象不仅关于直线 对称还关于点 对称，
所以不关于点 和 对称，所以 不是奇函数， ，故选项 A、D 错误；
故选：BC
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径为 ， ， ， 为球面上
三点，劣弧 的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过 ， 的圆，同理，圆 ， 的劣弧 ，
的弧长分别记为 ， ，曲面 （阴影部分）叫做曲面三角形，若 ，则称其为曲面等边三
角形，线段 ， ， 与曲面 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 .设
， ， ，则下列结论正确的是（ ）
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A. 若平面 是面积为 的等边三角形，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则球面 的体积
D. 若平面 为直角三角形，且 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据弧长公式即可求解 A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解 B，根据球的截面性质可得求解 C，
根据余弦定理，取反例即可求解 D.
【详解】若平面 是面积为 的等边三角形，则 ，则 ，
.A 不正确.
若 ，则 ，则 .B 正确.
若 ，则 ， ，
则平面 的外接圆半径为 ，则 到平面 的距离 ，
则三棱锥 的体积 ，
则球面 的体积 .C 正确.
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由 余 弦 定 理 可 知 因 为 ， 所 以 ， 则
.
取 ， ，则 ， ，
则 .D 不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相
等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的图象在点 处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，再用点斜式写出切线方程即可.
【详解】求导得 ，则有 ，
又因为 ，
所以在点 处 切线方程为： ，
整理得： ，
故答案为：
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13. 已知等差数列 的第 5 项是 的展开式中的常数项，则该数列的前 9 项和 __________.
【答案】15
【解析】
【分析】先根据二项式通项计算得出 ，进而得出 ，再结合等差数列求和公式计算即可.
【详解】二项式 的通项为： ，
令 ，得 ，
所以展开式中的常数项为 ，
即 ．由等差数列的性质得 ．
故答案为：15.
14. 定义正方形数阵 满足 ，其中 且 ，设 的值为奇数
的概率 ，则 ______， ______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题设新定义，当 时，列举出 的取值，分别计算 的值，再根据古典概型的概率
计算公式可得 ；
再分析 的值若为奇数，则 和 必定一奇一偶，分类讨论 为奇数和偶数两种情况，分
别计算满足条件的 的取值情况数，从而计算出 ，再代入数值计算即可.
【详解】当 时， ，所以 的取值有 种，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
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当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
其中 的值为奇数的情况有 4 种，所以 .
根据上述分析， ， 和 具有相同的奇偶性，
要使 的值为奇数，需使 和 都是奇数，则 和 必定一奇一偶.
当 3 且 为奇数时， 中有 个奇数， 个偶数，
故满足一奇一偶的 的取值情况有 种，则 .
当 3 且 为偶数时， 中有 个奇数， 个偶数，
故满足一奇一偶的 的取值情况有 种，则 .
所以 ，故 .
故答案为： ； .
四、解答题
15. 已知 的内角 所对的边分别为 ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得 ，即可利用余弦定理求解；
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（2）依题意可得 为 的中点，从而得到 ，将两边平方，结合余弦定理求出 ，
，即可求出 ，从而得解.
【小问 1 详解】
， ， ，
所以 可化为 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
，
【小问 2 详解】
因为 ，所以 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
即 ，
由余弦定理 ，即 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 的周长为 .
16. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的中心为原点，焦点在坐标轴上， ， 为 上
两点， 为椭圆上三个动点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在点 使 为 的重心？若存在，请探究 的面积是否为定值；若不存在，
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请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在， 的面积是定值，定值为 .
【解析】
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，代入 ， 可得标准方程；
（2）分直线 的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得 的面积为
，斜率存在时联立直线 和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点 的坐标，将
的坐标代入椭圆方程，化简可得 ，由三角形面积公式表示出 的面积并化简可得结果.
【小问 1 详解】
设椭圆 为 ， ， ， ，
由题意得 ，解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
当直线 的斜率不存在时，取 ， ， 符合题意，
故存在点 使 为 的重心，且此时 的面积为 .
当直线 的斜率存在时，设 ，联立 得 ，
设 ， ，则 ， ， ，
由条件得 ，得 ，
则 ，
，
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综上， 的面积为定值，其值为 .
17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为 ．若前一次投篮命中，
那么下次投篮命中的概率为 ；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为 ．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）设第 次投篮命中的概率为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设事件 “第 次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意 的所有取值为 0,1,2，再求分布列与数学期望即可；
（3）由题意得， ；再根据题意得出递推公式 ，进而构造数列
求解即可.
【小问 1 详解】
设事件 “第 次投篮命中”，则 “第 次投篮未命中”， ，
易知 与 是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为 ．
【小问 2 详解】
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由题意得， ，
的所有取值为 0,1,2，
,
所以 的分布列为
0 1 2
……
所以 ．
【小问 3 详解】
由题意得， ；
当 时，
即 ，
变形为 ，所以数列 是以 为公比的等比数列，
又 ，于是 ，
即 ，所以 ．
18. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， .
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（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，动点 在 内（含边界）且 .
（ⅰ）求线段 的轨迹形成的面积；
（ⅱ）设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）通过线线垂直证明 平面 ，即可完成证明；
（2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设 的坐标为 ，由 可得动点 的轨迹，
即可求长度；
（ⅱ）由（ⅰ）可设 ，据此可表示出平面 的法向量，然后由空间向量结合三角
函数知识可得答案.
【小问 1 详解】
由 ， 可知，
三角形 为等腰直角三角形， ， ，
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又因为 ，由余弦定理得： ，
即得 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）依题意，建立如图坐标系 ，
设 的坐标为 ， ，
由 ，
化简得： ，即 ，
则动点 的轨迹是以线段 的中点为圆心，以 1 为半径的圆弧，
由于线段 的中点 ，所以该圆弧经过点 ，
故动点 的轨迹是四分之一圆弧 ，所以其长度为 .
（ⅱ）由（ⅰ）可设 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 即
取 ，则 ，
则
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因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
综上所述， .
19. 已知函数 .
（1）当 时，判断 的零点个数，并说明理由；
（2）设 为 在区间 内的零点，令 ， ，
.
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）求证： .
【答案】（1）1 个，理由见解析；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）直接求导得 ，再合理赋值，利用零点存在性定理即可判断；
（2）（ⅰ）分析得 ， ， ，再根据 和不等式性质即
可证明；
（ ii） 先 转 化 为 证 明 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 放 缩 转 化 为 证 明
，再设新函数 ，
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求导即可证明.
小问 1 详解】
因 ， ，
所以 ，则 在区间 内单调递减，
又 ，故 ，
所以当 时， 有且仅有一个零点．
小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，
，
，
因为 ，则 ，则 ．
(ii)因为 .
故要证 ，即证 ，
因为 ，
又 ，
则只需证： ，
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设函数 ，
则 ，
因为 ， ，
而 在区间 上单调递减，故 ，
故 ，故 在区间 上单调递增，
又 ，则 ，从而 ，
故 ，
故 ．
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