四川省成都市成实外教育集团2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析）

这是一份四川省成都市成实外教育集团2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
3. 现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（ ）
4. 已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（ ）
5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（ ）
6. 已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
7. 设虚数，则的虚部为（ ）
8. 已知函数，数列满足，，，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下面命题正确的是（ ）
10. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则（ ）
11. 我国知名品牌小米公司的Lg（如图）具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）．则下列有关曲线的说法中正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
13. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时，_______________．
14. 在中，，（），若当面积取最大值时，，则________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项．
(1)求角；
(2)若角的角平分线交于，若，求面积的最小值．
16. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）当a＝时，求f(x)的极值；
（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
17. 如图，菱形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，当三棱锥体积最大时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求平面与平面所成二面角的大小．
18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为．
(1)求、；
(2)求；
(3)证明：是等比数列．
19. 在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上．
(1)求曲线的平面直角坐标系方程；
(2)若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点．
（i）证明：为定值；
（ii）最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积．
四川省成都市成实外教育集团2025届高三下学期4月联考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面解析几何、函数与导数、三角函数与解三角形、等式与不等式、复数、数列、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．4
B．
C．6
D．5
A．2
B．
C．
D．
A．41
B．
C．121
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立
B．若经验回归方程为，则样本中心点为
C．数据2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15的分位数为12
D．随机变量，当最大，则的取值为3
A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．将图象向左平移后，在上单调递减
A．对任意的且，曲线总关于原点对称
B．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为5个
C．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
D．当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为30
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
12
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
利用Venn图求集合；交并补混合运算
2
0.65
已知直线平行求参数；求平行线间的距离
3
0.94
列举法表示集合
4
0.65
探求命题为真的充要条件；判断或证明函数的对称性；函数奇偶性的定义与判断
5
0.85
抛物线的焦半径公式；求直线与抛物线相交所得弦的弦长；根据直线的方向向量求直线方程
6
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；基本不等式求和的最小值
7
0.85
求复数的实部与虚部；复数代数形式的乘法运算
8
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；指数幂的化简、求值
二、多选题
9
0.65
计算条件概率；总体百分位数的估计；根据回归方程求原数据中的值；服从二项分布的随机变量概率最大问题
10
0.65
求正弦（型）函数的奇偶性；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；由图象确定正（余）弦型函数解析式；求图象变化前（后）的解析式
11
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；二倍角的正弦公式；求点到直线的距离；由方程研究曲线的性质
三、填空题
12
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；简单复合函数的导数
13
0.85
平面向量基本定理的应用；用定义求向量的数量积
14
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；基本不等式求和的最小值
16
0.65
求已知函数的极值；函数极值点的辨析
17
0.65
线面角的向量求法；面面角的向量求法；证明面面垂直
18
0.4
由递推关系证明等比数列；求离散型随机变量的均值；独立事件的乘法公式
19
0.4
轨迹问题——椭圆；椭圆中的定值问题；多面体与球体内切外接问题；复数的坐标表示
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3,4
2
平面解析几何
2,5,11,19
3
函数与导数
4,8,12,14,16
4
三角函数与解三角形
6,10,11,14,15
5
等式与不等式
6,15
6
复数
7,19
7
数列
8,18
8
计数原理与概率统计
9,18
9
平面向量
13
10
空间向量与立体几何
17,19