四川省成都市2025届高三数学下学期4月联考试卷含解析

这是一份四川省成都市2025届高三数学下学期4月联考试卷含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 根据集合的运算即可得到答案.
【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，
故阴影部分所表示的集合为 或者 ，故 A 正确.
故选：A.
2. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，然后由平行线之间的距离求解即可.
详解】直线 即直线 ，与直线 平行，则 ，
故所求即为平行直线 与 之间的距离，
即所求为 .
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故选：B.
3. 现有 、 、 、 四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将所得结果列举出来即可.
【详解】现有 、 、 、 四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为 .
故选：A.
4. 已知 是定义在 上的函数，则“其图象关于点 成中心对称图形”是“函数
为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若函数 的图象关于点 成中心对称图形，且函数 的定义域为 ，
则 ，即 ，
设 ，则函数 的定义域为 ，
则 ，即函数 为奇函数，
因此，“ 的图象关于点 成中心对称图形”是“函数 为奇函数”的充要条
件.
故选：C.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，若 的一个方向向量为 ，
则 （ ）
A. 4 B. C. 6 D. 5
【答案】D
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【解析】
【分析】由直线的方向向量得出直线方程，代入抛物线方程得出 ，根据抛物线焦半径公式即可求解．
【详解】由题得 ，所以直线 的方程为 ，
代入 ，得 ，
设 ，则 ，
，
则 ，
故选：D．
6. 已知锐角 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得 ，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
则
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，
当且仅当 时，即 ，即 时，
也就是 时，等号成立.
故选：C
7. 设虚数 ，则 的虚部为（ ）
A. 41 B. C. 121 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简．
【详解】
，
故 ，虚部为
故选：B
8. 已知函数 ，数列 满足 ， ， ，
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】结合数列的周期性，求出 ，即可求解，函数解析式已知，代入列方程即可得解.
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【详解】由已知， ，则
，
即 ，整理可得 ，
即 ，解方程得 ，所以 ，
， .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下面命题正确的是（ ）
A. 对于随机事件 与 ， ， ，若 ，则事件 与 相互独立
B. 若经验回归方程为 ，则样本中心点为
C. 数据 2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15 的 分位数为 12
D. 随机变量 ，当 最大，则 的取值为 3
【答案】AD
【解析】
【分析】据条件概率的计算式和相互独立事件的关系判断 A；据经验回归方程过样本中心这一性质判断 B；
据百分位数的算法判断 C；据二项分布概率的计算式判断 D.
【详解】A 选项： ，则 ，则事件 与 相互独立，正确；
B 选项：经验回归方程过样本中心，但 ，该点不满足方程，不是样本中心，错误；
C 选项：该组数据按从小到大排序后，为 ，共 12 个数据，
，则 分位数为 和 的平均数，为 ，错误；
D 选项： ，则 ，当 最大时， 最
大，
此时， 的取值为 3，正确.
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故选：
10. 已知函数 的部分图象如图所示，把函数 图象
上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到函数 的图象，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线 对称
D. 将 图象向左平移 后，在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出 的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出 的解析式，结合三角函
数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.
【详解】由图知， ，则 ，即 ，因为 ，所以
.
因为 为 的零点，则 ，得 .
由图知， ，
则 ，所以 ， ，从而 .
由题设， ，
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则 为非奇非偶函数，所以 A 错；
的最小正周期 ，所以 B 正确；
当 时， ，则 的图象关于直线 对称，所以 C 正确；
， ，将 图象向左平移 后，在
上单调递减，所以 D 正确.
故选：BCD.
11. 我国知名品牌小米公司的 Lg（如图）具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线
（ 、 为常数， 且 ）．则下列有关曲线 的说法中正确的是（ ）
A. 对任意的 且 ，曲线 总关于原点对称
B. 当 ， 时，曲线 与坐标轴的交点个数为 5 个
C. 当 ， 时，曲线 上的点到原点的距离最小值为
D. 当 时，曲线 与直线 交于 ， 两点，则
的最小值为 30
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用曲线的对称性可判断 A 选项；利用基本不等式结合平面内两点间的距离公式可判断 CD 选项；
求出曲线与坐标轴的交点坐标，可判断 B 选项.
【详解】对于选项 A：取曲线 C 上点 ，则曲线 ，
点 P 关于原点对称点为 ，因为 ，
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即点 在曲线 C 上，故曲线 C 关于原点对称，故 A 正确；
对于选项 B：当 ， ，当 时，曲线 为 ,得 ，所以 或 ，
所以曲线 C 于 y 轴有两个交点；当 时， ，得 或 ，
所以曲线 C 与 x 轴有两个交点，综上，曲线 C 与坐标轴有 4 个交点，故选项 B 错误；
对于选项 C：当 ， 时，曲线 的方程为 ，令 ，（ 为参数）
在曲线 C 上任取一点 ，
由
，
因为 ，所以 ，
故曲线 C 上的点到原点的距离最小值为 ，故 C 正确；
对于选项 D：当 时，曲线 为 ，
直线 恒过点 ，此点正好是曲线 C 的上顶点，
故 是直线 与 的一个交点，不妨设 ，另外一个交点为 ，
求 的最小值即求点 到直线 这条直线的最小值
再乘 5，
设最小值为 d，则 ，
故 的最小值为 ，故选项 D 正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
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【详解】设曲线 与 的切点分别为 ，
易知两曲线的导函数分别为 ， ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
13. 在平行四边形 中， ， 是平行四边形 内（包括边界）一点，
，若 ，当 时， _______________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，得到点 的轨迹，根据 ，且 ，得点 为 的中点，计算
即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以点 在 的角平分线上，
因为 ，且 ，所以 三点共线，
因为 ，所以 是等腰三角形，
即点 为 的中点，故 .
故答案为：2.
14. 在 中， ， （ ），若 当 面积取最大值时， ，则 ________.
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【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 ， 结 合 余 弦 定 理 及 面 积 公 式 可 得 ： ， 再 通 过 换 元
，得到 ，求导确定单调性即可解；
【详解】
由 （ ），设 ，则 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ,
所以 的面积为：
令 ，由 ，易得 ，
所以 ,
所以
所以 ， ，
， ，
又 在 单调递减，
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可得：当 时，面积取得最大值，
即 ，
所以 ，
即 ，又 ，
可得： ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 是 与 的等差中项．
（1）求角 ；
（2）若角 的角平分线交 于 ，若 ，求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求出 ，得解；
（2）利用等面积法可得 ，再利用基本不等式即可得解.
【小问 1 详解】
，
又 ， ， ， .
【小问 2 详解】
因为 ，
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则 ，即 ， ，
，等号成立当且仅当 ，
所以 面积的最小值为 .
16. 已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）当 a＝ 时，求 f(x)的极值；
（2）讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.
【答案】（1）f(x)极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）当 a＝ 时，f(x)＝ln x－ x，求导得到 f′(x)＝ － ＝ ，然后利用极值的定义求解.
（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －a＝ (x>0)，然后分 a≤0 和 a>0 两种情况讨论
求解.
【详解】（1）当 a＝ 时，f(x)＝ln x－ x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝ － ＝ ，
令 f′(x)＝0，得 x＝2，
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ln 2－1
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ －a＝ (x>0).
当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
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当 a>0 时，当 x∈ 时，f′(x)>0，
当 x∈ 时，f′(x)0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝ .
【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的
能力，属于中档题.
17. 如图，菱形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，当三棱锥 体积最大时，
①求直线 与平面 所成角的正弦值；
②求平面 与平面 所成二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质及判定，线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）三棱锥 体积最大时， 在弧 中点，建立空间直角坐标系，由线面及面面夹角的余弦
公式求解即可．
【小问 1 详解】
为半圆直径， 在半圆弧 上，
，
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平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ．
【小问 2 详解】
，则三棱锥 体积最大时，有 最大，此时 在弧 中点，
以 为原点，设 中点为 ，则 ，
以 为 轴， 为 轴，过 点与面 垂直的射线为 轴建立空间直角坐标系 ，
设菱形边长为 2 有 ， ， ， ，
则 ， ， ，
（ⅰ）设面 的法向量为 ，
由 ，即 ，令 ， ，
记直线 与面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角 正弦值为 ．
（ⅱ）记平面 的法向量为 ，
由 ，即 ，令 ， ，
由题知，面 的法向量为 ，
记平面 与平面 所成二面角 ， ，
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所以平面 与平面 所成二面角为 ．
18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都
有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…， ， ， ， ，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即 ．已知甲盒
子中装有 个黄球和 个黑球，乙盒子中装有 个黄球和 个黑球（ 个球的大小形状完全相同）．记操作
：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复 次 操作后，记甲盒子中黄球个数为
，恰有 个黄球的概率为 ，恰有 个黄球的概率为 ，并记 的数学期望为 ．
（1）求 、 ；
（2）求 ；
（3）证明： 是等比数列．
【答案】（1） ；
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1） 、 分别表示操作一次后，甲盒子中恰有 个、 个黄球的概率，结合古典概型的概率公
式可求得 、 的值；
（2）记重复 次 操作后，甲盒子中恰有 个黄球的概率为 ，求出 的值，分析可知 的所有可能取
值为 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 在不同取值下的概率，
可得出 的分布列，由此可得出 的值；
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（3）记重复 次 操作后，甲盒子中恰有 个黄球的概率为 ，可得 ，推导出
，结合等比数列的定义可证得结论成立.
【小问 1 详解】
、 分别表示操作一次后，甲盒子中恰有 个、 个黄球的概率，
由题可知： ， .
【小问 2 详解】
记重复 次 操作后，甲盒子中恰有 个黄球的概率为 ，易得 ，
由题易得 的所有可能取值为 、 、 、 ，
且 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
数学期望为 .
【小问 3 详解】
记重复 次 操作后，甲盒子中恰有 个黄球的概率为 ，
由题，可得 ，
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而 ，
，
，
于是， ，
也即 ，
首项为 ，
因此 是首项为 ，公比为 等比数列.
19. 在平面直角坐标系中，分别以 轴和 轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数 ，在
复平面内满足 为定值的点 的轨迹为曲线 ．且点 在曲线 上．
（1）求曲线 的平面直角坐标系方程；
（2）若斜率为 直线 与曲线 交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合，
直线 即为椭圆 在 点处的切线）分别与 轴交于 、 两点， 为 中点．
（i）证明： 为定值；
（ii） 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，
求三棱锥 外接球的半径最小时，三棱锥 的表面积．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据复数的几何意义，根据椭圆的定义以及标准方程，可得答案；
（2）（i）设出直线方程联立方程，写出韦达定理，根据直线斜率公式，化简整理，可得答案；（ii）由题意
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作图，根据外接球的性质，明确三棱锥两个面的外接圆圆心与半径，结合二面角的大小，作函数关系，求
得最值，根据三棱锥的表面积公式，可得答案.
【小问 1 详解】
由题意可得点 到 与 的距离之和为定值，
点 在曲线 上，该定值为
，
而 ，故曲线 为椭圆；
则 ，所以所求方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）设直线 ，由 ，消去 得 ，
，
设 ， ，则 ， ，
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则
.
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（ⅱ）由（ⅰ）可知 ，即 ，
在 中，令 ，则 ， ，
，
当且仅当 时取等号，此时 最大， 是边长为 2 等边三角形，
过原点 ， ， ，
将 沿 轴折成三棱锥 ，将底面 补成等腰梯形 ，
则三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球．
过等腰梯形 外心即 中点 作直线 平面 ，
过 中心 作直线 平面 ， ，则 即为三棱锥 外接球球心，
即为三棱锥 外接球半径，显然 与 重合时三棱锥 外接球半径最小，
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此时 平面 ，三棱锥 为正四面体， 与 交点 即为 中心，
平面 ，而 平面 ，则 ，
在等腰梯形 中， ， ，
则 ， ，即 ，
由 ， ， 平面 ，于是 平面 ，
而 平面 ，
因此 ，因此 ，
， ，
则三棱锥 表面积为 .
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