2025成都成实外教育集团高三上学期12月联考试题数学含答案

这是一份2025成都成实外教育集团高三上学期12月联考试题数学含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：李志英 郭和平 审题人： 辜佳川
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数为虚数单位）的共轭复数
A．B．C．D．
2．命题：“，，”的否定是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是
A．B．C．D．
4．已知一组数据：3，5，,7，9的平均数为6，则该组数据的分位数为
A．4.5B．5C．5.5D．6
5．设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．“”是“直线与圆有公共点”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，则
A．B．C．D．
8．已知函数，将图像上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图像，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是
A．3B．5C．7D．9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是
A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在，内的学生人数为150
10．设单位向量满足，则下列结论正确的是
A．与的夹角为 B．
C． D.在的方向上的投影向量为
11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则
A． B．四边形面积最小值为64
C． D．若，则直线的斜率为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ．
13．若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ．
14．如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按，再按，则和的最终状态都未发生改变的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题13分)
已知等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和
16．(本小题15分)
双曲线左右焦点分别为，，若双曲线经过点，且离心率
（1）求双曲线的方程；
（2）过作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求的面积为坐标原点）
17．(本小题15分)
如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且
（1）证明：平面；
（2）在菱形中，若
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值
(本小题17分)
某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值
(本小题17分)
在必修一第210页研究正切函数的图像时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当时，，此过程相当有乐趣。在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当时，，此题目引发了很多思考。请你完成下列问题：
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期,若不是，请说明理由；
（2）证明：当时，；
（3）已知函数，其中且，当时，有恒成立. 证明：
成实外教育集团高2022级高三12月联考试卷
数学答案
一、单选题：1-5 ACBCC 6-8 ABD
二、多选题：9．BD 10．BCD 11．ACD
三、填空题：12． 13． 14．
四、解答题
15．解：（1）由题意设等差数列的公差为，
因
（2）由（1）得，则
则
16．解：（1）因为双曲线经过点，
所以，解得，则双曲线的方程为
（2）由（1）知，所以直线的方程为，
即，此时原点到直线的距离
不妨设，联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得
所以
则的面积
17．解（1）证明：取中点，连接为的中点，为的中点，
，
据此可得四边形为平行四边形，平面平面，平面
（2）（ⅰ）过作平面平面平面，
．
（ⅱ）解：平面平面，过作平面，
为中点，，
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
，
由，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，
设二面角的平面角为，
．
18．解：（1）设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为．
（2）由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即，
因为，
因为，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以．
19．解：（1）由题易知，函数定义域为，故为偶函数．
为周期为的周期函数．
（2）当时，，
当时：，故
当时：又，且在上为减函数
综上：
（3）当，且不等式在区间上恒成立，因端点处．
可得，又，则
因为，显然会有
则，故
即①
要证：
即证：
下证：
不妨设，即证：
设
，则在单调递增，则，即
则，从而可得0
5
10
15
20