福建省福州市2024-2025学年高三下第四次质量检测数学试题（含答案解析）

这是一份福建省福州市2024-2025学年高三下第四次质量检测数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
3. 已知集合，则（ ）
4. 展开式中常数项是（ ）
5. 已知分别为的三个内角的对边，若，则（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（ ）
7. 若为函数的零点，则（ ）
8. 在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
10. 有一组成对样本数据，设．由这组数据得到新成对样本数据．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是（ ）附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．相关系数，决定系数（其中）．
11. 在平面直角坐标系中，点是曲线上的动点，点坐标为，射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．定义：，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知向量，若向量与垂直，则____________．
13. 陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是____________（用数字作答）．
14. 已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列是公差为2的等差数列，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，若，求的最大值．
16. 某校组织学生参观中国船政文化博物馆，并抽取20个学生进行船政文化知识竞赛，成绩如下：
53，79，76，92，63，63，65，77，66，68，
72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．
(1)根据以上数据，求成绩的上四分位数（说明：上四分位数即第75百分位数）；
(2)在大于70分的成绩中随机抽取2个，设表示抽取的2个成绩中大于上四分位数的个数，求的分布列和数学期望．
17. 如图，在三棱柱中，平面，的中点为，．
(1)证明：平面；
(2)在平面内，动点在以为圆心，为半径的劣弧上（不含端点），若直线与平面所成的角为，证明：三点共线．
18. 已知椭圆的两个焦点分别是，长轴长是短轴长的倍．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，以为直径的圆记为．
（i）当直线过原点时，求与的交点坐标；
（ii）是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19. 已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如．
(1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为．
（i）求函数的解析式；
（ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：．
福建省福州市2024-2025学年高三第四次质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、函数与导数、集合与常用逻辑用语、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面解析几何、空间向量与立体几何、平面向量、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．20
B．15
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．或
B．或
C．1或
D．或
A．0
B．1
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．在区间上单调递增
B．在区间上的最大值为1
C．直线是曲线的对称轴
D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方
A．两条经验回归直线都过点
B．两条经验回归直线的截距相同
C．两组数据的相关系数相同
D．两组数据的决定系数相同
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
11
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数的坐标表示；复数代数形式的乘法运算
2
0.94
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；基本初等函数的导数公式；导数的运算法则
3
0.85
交集的概念及运算；解余弦不等式
4
0.85
求指定项的系数
5
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
6
0.65
斜率公式的应用；直线与抛物线交点相关问题
7
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点
8
0.65
球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
二、多选题
9
0.65
求csx型三角函数的单调性；求csx(型)函数的值域；求csx（型）函数的对称轴及对称中心；利用csx（型）函数的对称性求参数
10
0.65
求回归直线方程；根据回归方程进行数据估计；解释回归直线方程的意义；相关系数的意义及辨析
11
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；由终边或终边上的点求三角函数值；二倍角的正弦公式
三、填空题
12
0.94
利用向量垂直求参数
13
0.85
棱锥的结构特征和分类
14
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
16
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；总体百分位数的估计；求离散型随机变量的均值
17
0.65
证明线面平行；线面角的向量求法；空间位置关系的向量证明
18
0.4
椭圆中的定值问题；根据韦达定理求参数；根据a、b、c求椭圆标准方程
19
0.15
函数单调性、极值与最值的综合应用；函数新定义；含参分类讨论求函数的单调区间；数列不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
函数与导数
2,7,19
3
集合与常用逻辑用语
3
4
三角函数与解三角形
3,5,9,11
5
计数原理与概率统计
4,10,16
6
平面解析几何
6,14,18
7
空间向量与立体几何
8,13,17
8
平面向量
12
9
数列
15,19