福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十四次质量检测数学试题（含答案解析）

这是一份福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十四次质量检测数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ）
2. 设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（ ）
3. 已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（ ）
4. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
5. 已知，则的值为（ ）
6. 已知，，则（ ）
7. 如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（ ）（参考数据：）
8. 若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
10. 已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（ ）.
11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________.
13. 已知，则满足的实数的取值范围是__________．
14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
16. 已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，其前项和为，若对于恒成立，求实数的取值范围．
17. 如图①，在等腰梯形中，为边的中点．将沿翻折，使点到达点的位置，得到四棱锥，如图②．
(1)证明：在翻折过程中，始终满足；
(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值．
18. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设是过点的动直线．
①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值．
19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数．
①若，求在个产品中至少有个次品的概率；
②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律?
(3)若，且，求的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若，则一有，，；，，．
福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十四次质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、空间向量与立体几何、平面向量、数列、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、函数与导数、复数、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．1
C．6
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．8
B．9
C．10
D．11
A．
B．
C．
D．
A．复数对应的点在第四项象限
B．
C．
D．
A．，
B．的单调区间为：
C．在区间上有且仅有2个零点
D．先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数
A．曲线关于直线对称
B．曲线有4个顶点
C．曲线与直线有4个交点
D．曲线上动点到原点距离的最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
11
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
根据集合的包含关系求参数；根据交集结果求集合或参数
2
0.65
空间平行的转化；判断命题的充分不必要条件；判断面面平行
3
0.65
数量积的运算律；垂直关系的向量表示
4
0.65
累加法求数列通项；裂项相消法求和
5
0.85
组合数的计算；求指定项的系数
6
0.65
已知弦（切）求切（弦）；用和、差角的正弦公式化简、求值
7
0.65
由定义判定等比数列；写出等比数列的通项公式
8
0.4
求函数值
二、多选题
9
0.85
复数范围内方程的根；判断复数对应的点所在的象限；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
10
0.65
函数奇偶性的应用；求图象变化前（后）的解析式；求正切型三角函数的单调性；判断零点所在的区间
11
0.4
由方程研究曲线的性质
三、填空题
12
0.85
计算古典概型问题的概率；计算条件概率
13
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
14
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
四、解答题
15
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数（含参）的单调区间
16
0.65
写出等比数列的通项公式；错位相减法求和；等差中项的应用
17
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；线面垂直证明线线垂直
18
0.4
轨迹问题——椭圆；求椭圆中的最值问题
19
0.4
独立重复试验的概率问题；3δ原则；用导数判断或证明已知函数的单调性
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
空间向量与立体几何
2,17
3
平面向量
3
4
数列
4,7,16
5
计数原理与概率统计
5,12,19
6
三角函数与解三角形
6,10,14
7
函数与导数
8,10,13,15,19
8
复数
9
9
平面解析几何
11,14,18