上海市杨浦高级中学2024学年高一下期末数学试卷（文字版含答案）

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命题人：徐安琪 审核：张君 时间90分钟 满分150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知为虚数单位，复数纯虚数，则实数__________.
2.已知向量，，若，则实数__________.
3.已知，则__________.
4.若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________．
5.已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度）
6.若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________．
7.若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为________.
8.已知复数满足，则的值为_________．
9.已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________.
10.在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________.
11.某商场要悬挂一个棱长为2米正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）
12.设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
13.已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若与为异面直线，则
C. 若，则 D. 若，则
14.已知两个非零向量满足，则下面论正确的是（ ）
A. B. C. D.
15.如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ）
①截面是矩形；
②截面的面积为；
③截面与侧面的交线平行于侧面.
A. 0B. 1C. 2D. 3
16.若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 9
三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.如图，在长方体中，证明：直线平面.

18.设，函数的表达式为.
（1）若，求单调增区间；
（2）若，设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且，求的面积.
19.如图，一块正方体木料，面上有一点，
（1）经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由.
（2）若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值.
20.如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点.
（1）用和表示；
（2）若，求实数；
（3）如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值；
21. 已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，.
（1）计算的值；
（2）记，若，且满足，求最大值；
（3）若，且满足，，记，
求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，.