天津市滨海新区2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题（word版 含答案）

天津市滨海新区2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集为，集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在的学生人数为25，则的值为（    ）

A．40 B．50 C．60 D．70

5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（    ）

A．10 B．20 C．24 D．32

6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是

A． B．

C． D．

8．已知双曲线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

9．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、双空题

10．复数（是虚数单位）的实部为________，________．

11．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则______.（用数字作答）

12．如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______．

三、填空题

13．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则______.

14．二项式的展开式中常数项为-20，则含项的系数为______.（用数字作答）

15．已知正实数，满足：，则的最大值是__________.

四、解答题

16．函数·

（1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值；

（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积.

17．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，，·

（1）求证：平面.

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

（3）若点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得二面角的余弦值为.

18．已知数列，，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列.

（1）求数列和的通项公式.

（2）记，求数列的前项和.

（3）.

19．椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.

（1）求椭圆的方程.

（2）已知点，若直线与椭圆相交于两点，且直线，的斜率之和为，求实数的值.

（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.

20．已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.

（1）若，时 .

（i）当时，求曲线在处的切线方程.

（ⅱ）当时，判断函数在区间零点的个数.

（2）若，，当时，求证：若，且，则.

参考答案

1．D

【分析】

根据集合，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.

【详解】

解：，集合，，则.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题.

2．B

【分析】

首先解两不等式，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：解绝对值不等式可得，即，

将分式不等式变形可得，解得，

因为，

所以“”是“”的必要而不充分条件，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．

3．B

【分析】

先判断出函数是奇函数,可排除A,C选项,再取,由排除D选项,即可得出答案.

【详解】

,其定义域为:,

又,

所以为奇函数,故排除A,C选项,

又当时,,

所以排除D选项,

故选:B.

【点睛】

本题考查根据解析式判断函数图像,考查函数性质的基本应用,常用排除法解决此类问题,一般利用函数的奇偶性,单调性,特殊值等进行选项排除.

4．B

【分析】

分析处理频率分布直方图中的数据求解即可.

【详解】

解：依题意，得，

解得，

故选：B．

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，属基础题.

5．C

【分析】

各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.

【详解】

因为正四棱柱高为4，体积为16，

所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，

正四棱柱的底面的对角线为，

正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即，,

故选：C

6．A

【分析】

利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.

【详解】

由题意可知在上是增函数，在上是减函数.

因为，，，

所以，故.

故选：A

【点睛】

本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.

7．C

【分析】

先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.

【详解】

因为对任意恒成立，所以，

则或，

当时，，则（舍去），

当时，，则，符合题意，

即，

令，解得，即的单调递增区间是；故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.

8．B

【分析】

，得出到渐近线的距离为，由此可得的关系，从而求得离心率．

【详解】

因为，而，所以是等边三角形，到直线的距离为，

又，渐近线方程取，即，

所以，化简得．
故选：B．

9．D

【分析】

由题意可知，函数与的图象在上有三个交点，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.

【详解】

因为函数在上有个不同的零点，

所以，关于的方程在上有个不同的实数根，

作出函数的图象如下图所示：

函数的图象恒过点，

当时，函数的图象与轴的交点为，

①当时，即当时，函数与的图象在上仅有个不同的交点，如下图所示：

②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：

③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：

④当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，如下图所示：

⑤当时，要使得函数与的图象在上有个交点，

则与的图象在上有个交点，

则与函数在上的图象有两个交点，

即方程在上有两个不等的实根，

设，则在上有两个零点，

可得，解得，此时.

且与的图象在上有一个交点，则，解得.

由上可知，；

⑥当时，，如下图所示：

直线与函数在上的图象有三个交点.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

10．       

【分析】

由复数定义及复数除法运算，化简复数，即可求得其实部；根据复数模的定义，即可求得.

【详解】

根据复数定义及复数除法运算可得

，

所以复数z的实部为，

由复数模的定义可知.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查复数的概念、复数模的求法，属于基础题．

11．15    2   

【分析】

从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即,他遇到红灯的次数满足二项分布，可得答案.

【详解】

他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有

他遇到红灯的次数值为0,1,2,3,4,5,6.

他在每个路口遇见红灯的概率均为,他遇到红灯的次数满足二项分布.

即

所以

故答案为：(1). 15    (2). 2

【点睛】

本题考查组合问题和将实际问题转化为二项分布并求期望，属于中档题.

12．       

【分析】

求出，由利用数量积公式求解的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

所以

；

建立如图所示的坐标系，

因为，，，

可得，

设，因为，则，

所以，

，

当时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：,.

【点睛】

平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．

13．

【分析】

本题可根据抛物线的定义得出结果.

【详解】

抛物线即，焦点，

因为点在抛物线上且，

所以结合抛物线定义易知，，

故答案为：.

14．

【分析】

先写出二项式的展开式的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再根据通项公式可求出答案.

【详解】

二项式的展开式的通项公式为

当时，为常数项.

则，

令，得，所以含项的系数.

故答案为：-6

15．.

【详解】

试题分析：，由题意得，，令，∴，当且仅当，时，等号成立，即所求最大值为，故填：.

考点：基本不等式求最值.

16．（1），最大值为1，最小值为；（2）.

【分析】

（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；

（2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】

（1）

，

∴函数的最小正周期；

因为所以，

因为函数在单调递增，在上单调递减

所以，

，

所以函数的最大值为1，最小值为；

（2），

∵，∴.，即，

由正弦定理以及，可得，

由余弦定理可得，

可得，

∴，∴.

17．（1）证明见解析；（2）；（3）位于点.

【分析】

建立空间直角坐标系.

（1）求出平面的法向量，再根据数量积的运算即可证明；

（2）利用夹角公式可求得；

（3）设，再求平面的法向量，利用夹角公式可求得建立方程可求得结果.

【详解】

以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

（1）证明：，，，

设平面的法向量为，则

∵，令得，

∴，又平面，

∴平面.

（2），，

∴，

设异面直线与所成角为.则，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（3）设，则，

设平面的法向量为，则，

∴，令得，

，

解得或（舍）.

∴当位于点时，二面角的余弦值为.

18．（1），；（2）；（3）.

【分析】

(1)由递推公式探讨出数列任意相邻两项的关系得，由等差数列的已知求出其首项和公差得；

(2)由(1)求出数列的通项公式，再分组求和得解；

(3)对和式从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.

【详解】

（1）因，时，，

则有，即，而时，，即，

∴是首项，公比为3的等比数列，从而；

设等差数列的公差d，而，依题意，

，，，所以；

（2）由(1)知，

当n为偶数时，

当n为奇数时，

∴

（3）

所以是数列的前n项和，

设的前项和为，

，

，

即，

∴.

【点睛】

思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

19．（1）；（2）2；（3）.

【分析】

（1）利用代入法结合弦长得到等式，再结合椭圆离心率公式、进行求解即可；

（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，根的判别式，结合斜率公式进行求解即可；

（3）由角平分线的性质，结合点在椭圆上的性质进行求解即可.

【详解】

（1）由于，

将代入椭圆方程，得，

由题意知，又，而，所以，而，

所以，，

所以椭圆的方程为；

（2）设，，

由，消去得，

由，可得，

，，

又直线不经过点，且直线与的斜率存在，∴，

∴

即

解得或，因为且

故的值为2；

（3）设，

又，，所以直线，的方程分别为

，，

由题意知，

由于点在椭圆上，所以，，

所以，

因为，，

所以，所以，

因此.

【点睛】

关键点睛：利用角平分线的性质是解题的关键.

20．（1）（i）；（ⅱ）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）（i）先求切线的斜率，再根据直线方程即可求得切线方程；

（ü）先研究函数的单调区间，再分类讨论.

（2）通过换元后转化为证明不等式恒成立.

【详解】

（1）当时，，.

（i）当时，，而，

所以切线为；

（ü）由，（），

由解得，

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，

因此在处取得极小值.

在区间上的最小值为

①若，则无零点.

②当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

③当时，在区间上单调递减，

且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上，若，函数在区间无零点，

当时，函数在区间有一个零点.

（2），

令，，

不妨设，，

令

由题意可知，即证明当时，，

，

其中，所以.

所以在上是单调递增，

因为，所以当时，，得证.

方法二：切线放缩

化解过程同上，原题即证明当时，

，，

注意到，

求出在处的切线方程，

则，即，

则：切线方程为.

下面证明恒成立；

令，

则，

得在恒成立，

故在上单调递增，

恒成立，

故成立，

同理可证始终位于在处的切线的上方，

即（实际上与关于轴对称），

放恒成立，

原不等式得证.

【点睛】

关键点睛：求切线的关键是求斜率与切点，讨论零点的个数的关键是对函数单调性以及最值的把握；不等式的证明的关键是换元与函数单调性的确定.