甘肃省兰州市2024-2025学年九年级下学期适应性考试试卷数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省兰州市2024-2025学年九年级下学期适应性考试试卷数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题11小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是；
故选：B．
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得，
故选：B．
3. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4. 化简的结果是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
5. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
以为圆心，的长为半径圆弧，交于点，
，
，
．
故选：B．
6. 如图，一次函数（为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵从图象可看出当时，的函数图象与函数的图象相交，
∴方程的解是．
故选A．
7. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故选：．
8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，可列方程为，
故选：D．
9. 如图，在正方形中，点 E 为 上一点，连接 交于点F，延长交 的延长线于点 G，若，则 的长为( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】四边形是正方形，
，
在中，，
，
解得：（舍去负值），
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
10. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B. 乙同学第三轮投壶命中率最高
C. 甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D. 甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
【答案】C
【解析】甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意；
乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意；
甲同学五轮投壶命中总数为．
乙同学五轮投壶命中总数为，
甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意；
观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意．故选：C．
11. 下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12. 分式有意义，则x的值可以是 _____________.（写出一个符合题意的x的值即可）
【答案】 的任意数（答案不唯一）
【解析】根据题意得，，
∴，
∴当的任意数，
故答案为：的任意数（答案不唯一）．
13. 如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形，
点A的坐标为，
，即
故答案为：．
14. 如图，点C为线段AB延长线上一点，正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，则△EDF的面积为 _____．
【答案】2
【解析】如图所示，连接正方形BCDE的对角线CE，BD，且CE交BD于点O，
∴∠BEC=45°，CE⊥BD，
∵正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，
∴正方形AEFG的边长为，正方形BCDE的边长为，
∴EF=AE=，BE=CD=BC=2，
∵点C是线段AB延长线上一点，
∴∠ABE=90°，
∴AB=，
∴Rt∆ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∵∠AEF+∠AEB+∠BEC=180°，
∴点F、E、C在同一直线上，
∵CE⊥BD，
∴OD=，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，一博物馆由圆形主馆和三个圆形副馆，，组成．一游客从主馆进入，准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他随机从副馆四个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是______．
【答案】
【解析】由题意，画树状图为：
共有种等可能的结果，其中从中间出口（即出口，）离开的结果有种，
∴他从中间出口（即出口，）离开的概率是，
故答案为：．
三．解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
解：原式
．
17. 先化简再求值：，其中
解：
∵
∴原式．
18. 解方程：x2-6x-18=0．
解：x2-6x+9=27，
（x-3）2=27，
x-3=±3，
所以x1=3+3，x2=3-3．
19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
（1）求直线的解析式和反比例函数解析式；
（2）求的面积．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点
∴把分别代入和，得
解得
∴直线的解析式为反比例函数解析式
（2）解：由（1）知直线的解析式为
∴
∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点
∴
则
∴
∴的面积的高
即
∴的面积为．
20. 如图1，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”．如图2，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约24米，桥拱顶点到水面的距离为8米．以该时刻水面为轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱部分抛物线的表达式；
（2）问题解决：现有两艘宽为8米，高为4米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由．
（1）解：，
根据题意得，抛物线顶点，经过点．
设抛物线表达式为．
．
．
桥拱部分抛物线的表达式为；
（2）解：．
在中，令，
则．
可以同时从桥下穿过．
21. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和。甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，m，点与点相距189m（点在同一条直线上），在处测得塔尖顶点的仰角为，在处测得塔尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：．）

解：如图所示，过点作于，连接，则四边形是矩形，

∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴、、三点共线．
∴；．
设，
在中，，
∴，
；
在中，，
∴，
；
∴，
解得，
∴，
∴。
∴风电塔筒的高度约为m．
22. 2025年3月国家卫健委提出“体重管理3年行动计划”，旨在普及健康生活．目前，国际多采用体质指数（以下简称），其计算公式为：（单位：）（其中：偏瘦：；正常：；超重：；肥胖：）．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取男女生各10人，并对所调查的数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息．
信息一：10名男生的身高，体重及统计表
信息二：10名女生的身高（单位：m）如下：
1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73．
信息三：10名女生的条形图
（1）男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______；
（2）设样本中男生和女生身高的方差为和，则______（填“>”，“=”或“；
（3）男生超重：的1人；肥胖：的1人．
女生超重：的1人；肥胖：的0人．
∴（人）．
答：该校九年级学生中超重及肥胖的约30人．
23. 如图，在中，，平分，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与、两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比，请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图 痕迹，不写作法，不下结论），
（2）证明：， ①
又，平分， ②
，
③
小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：，
，
又，平分，
，
，
．
已知：在中，是的内角平分线，
求证：．
证明：过点D作于E，于F，如图，
是的角平分线，
，
．
24. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点．

（1）求证：与的切线；
（2）若，，求和长．
（1）证明：连接，，

∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线．
（2）解：连接，，

∵在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
25. 在四边形中，对角线交于点O．
（1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；
（3）如图3，若，求的最小值．
（1）证明∶，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
四边形是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作，连接
四边形平行四边形，
．
又，
，
，
．
，
的最小值是13．
26. 在平面直角坐标系中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接，如果，则称点P为点M，N的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段MN上的两点，；
①点，，中，点M，N的“条件拐点”是______；
②如果过点且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；
（2）如图2，已知点，，过点F作直线轴，点M，N在直线l上，且．如果直线上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．
（1）①解：由题意知，，
，，
∵，
∴，，故满足要求；
同理，，，故不符合要求；
，，，
∴，，故满足要求；
故答案为：，；
②解：如图1，，
由题意知，在以为圆心，为半径长的圆上，
∵过点且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，
∴到过点且平行于x轴的直线的距离，
∵，即，
∴，
解得，，
∴的取值范围为；
（2）解：当，，直线与轴交点为；
当，，直线与轴交点为；
∵，
∴在以为圆心，为半径的圆上，
当时，如图2，
由题意知，，，，
∴，
点到直线的距离为，
令，解得，
∴；
当时，如图3，
同理得，，解得，
∴；
当时，如图4，
同理可得，解得，
∴；
当时，如图5，
同理可得，解得，
∴，
综上所述，或时，直线上存在点M，N的“条件拐点”．
身高（m）
1.57
1.66
1.69
173
1.73
1.75
1.78
1.83
1.88
1.67
体重（）
45
49
60
60
65
75
64
72.5
106
52.5
18.3
17.8
21.0
20.0
21.7
24.5
20.2
21.6
30.0
18.8