【中考数学】2025年甘肃省兰州市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年甘肃省兰州市中考适应性模拟试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
2．（3分）计算：3×2=（ ）
A．6B．6C．5D．1
3．（3分）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．54°
4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（8，0）
5．（3分）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
7．（3分）若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数y=2x的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2
8．（3分）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，f的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．2x+y−10000=12x10000−(x+2y)=12y B．10000−(2x+y)=12xx+2y−10000=12y C．x+2y−10000=12x10000−(2x+y)=12y D．2x+y=12xx+2y=12y
10．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（ ）
A．95°B．100°C．110°D．145°
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数D．二次函数，一次函数
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（3分）因式分解：2x2+4x+2＝ ．
13．（3分）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若AB=43，则AF＝ ．
15．（3分）如图，黄金矩形ABCD中ABAD=5−12，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
17．（5分）解方程：3x+1=2x．
18．（5分）解不等式组：3x−3＜x+7x−4＞x−52．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
20．（7分）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cs89°25′37.43′′≈0.00999，cs89°22′38.09′′≈0.01087）
21．（7分）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
22．（7分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
23．（7分）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中a＝ ，b＝ ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cs∠AEC=53，求OD的长．
25．（8分）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P′在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
2025年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣2＜0＜1＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，正数大于0，0大于负数是解题关键．
2．（3分）计算：3×2=（ ）
A．6B．6C．5D．1
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式=3×2=6，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．（3分）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．54°
【分析】由题意得α+β＝90°，代入数据计算即可求解．
【解答】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴α+β＝180°﹣90°＝90°，
∵β＝54°，
∴α＝90°﹣β＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直的定义，余角的性质，掌握以上性质是解题的关键．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（8，0）
【分析】把B点的横纵坐标都乘以2得到点B′的坐标．
【解答】解：∵△ABC与A′B′C的位似比为BC：B′C′＝1：2，且位似中心是原点O，
而点B（2，0），
∴B点对应点B′的坐标为（4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（3分）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】根据正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，求解即可．
【解答】解：正三角形的每个内角为180°3=60°，
正方形的每个内角为360°4=90°，
∴∠ABC＝60°+90°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，掌握其性质是解题的关键．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4a＞0，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0，
解得a＜1，
所以a可以取0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数y=2x的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=2x的k＝2＞0，
∴反比例函数图象上分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵2＞0＞﹣2，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，f的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
【分析】先画出树状图，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：如图，
由图可知，共有9种可能的情况，符合条件的只有1种，
∴两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是19．
故选：A．
【点评】本题考查的是概率公式，列表法与树状图法，根据题意画出树状图是解题的关键．
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．2x+y−10000=12x10000−(x+2y)=12y
B．10000−(2x+y)=12xx+2y−10000=12y
C．x+2y−10000=12x10000−(2x+y)=12y
D．2x+y=12xx+2y=12y
【分析】根据两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：2x+y−10000=12x10000−(x+2y)=12y，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（ ）
A．95°B．100°C．110°D．145°
【分析】过点E作EG∥BC交BD于点G，连接FG，则∠EGP＝∠ADB＝∠FBP＝35°，证明△PEG和△PFB全等得EG＝FB，进而得四边形BEGF是平行四边形，再根据∠ABC＝90°得四边形BEGF是矩形，则PG＝PE，继而得∠GEP＝∠EGP＝35°，然后根据三角形内角和定理即可得出∠EPG的度数．
【解答】解：过点E作EG∥BC交BD于点G，连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝35°，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD∥EG∥BC，
∴∠EGP＝∠ADB＝∠FBP＝35°，
∵点P为EF的中点，
∴PE＝PF，
在△PEG和△PFB中，
∠EGP=∠FBP∠EPG=∠FPBPE=PF，
∴△PEG≌△PFB（AAS），
∴EG＝FB，
又∵EG∥FB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形BEGF是矩形，
∴PG＝PE，
∴∠GEP＝∠EGP＝35°，
在△PEG中，∠EPG＝180°﹣（∠GEP+∠EGP）＝110°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数D．二次函数，一次函数
【分析】依据题意，当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP=OC+OP=2+2x，作PG⊥CD于点G，求得CG＝PG＝x+1，利用y=S△CPQ=12CQ•PG计算即可；当点P在AB上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，
∴AC=2AD=2AB=22cm，OC＝OA=12AC=2cm．
当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OP=2+2x，
作PG⊥CD于点G，
∵∠PCG＝45°，
∴CG=PG=CP2=x+1，y=S△CPQ=12CQ⋅PG=12x2+12x，是二次函数；
当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x，
∴y=S△CPQ=12CQ⋅BC=x是一次函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的定义、一次函数的定义，解题时要能根据题意列出关系式是关键．
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（3分）因式分解：2x2+4x+2＝ 2（x+1）2 ．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，
故答案为：2（x+1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．（3分）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 乙 ．（填写“甲”或“乙”）
【分析】根据平均数和方差的意义求解即可．
【解答】解：由题意知，甲成绩的平均数小于乙，且方差大于乙，
所以甲的平均成绩低于乙，且成绩波动幅度大于乙，
所以根据表中信息估计新手是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若AB=43，则AF＝ 4 ．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝43，∠ABD＝∠CBD，由锐角三角函数可求∠BAE＝30°，由直角三角形的性质可得AF＝BF，EF＝2，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝43，∠ABD＝∠CBD，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝23，
∵sin∠BAE=BEAB=12，
∴∠BAE＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝∠CBD＝∠ABD，BF＝2EF，BE=3EF，
∴AF＝BF，EF＝2，
∴AF＝BF＝2EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，黄金矩形ABCD中ABAD=5−12，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作AF，FH，HK，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 (5−1)π ．（结果用π表示）
【分析】先根据黄金矩形ABCD中ABAD=5−12，且 AD＝2，求出AB=5−1，进而求出GF=GH=HC=FC=3−5，LH=HD=25−4，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”AFHK的长．
【解答】解∵黄金矩形ABCD中ABAD=5−12，且 AD＝2，
∴AB=5−1，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF=BF=AB=5−1，
∴FC=ED=2−(5−1)=3−5，
∵四边形FGHC是正方形，
∴GF=GH=HC=FC=3−5，
∵CD=AB=5−1，
∴HD=CD−CH=(5−1)−(3−5)=25−4，
∵四边形LKDH是正方形，
∴LH=HD=25−4，
∴“黄金螺线”AFHK的长为90π⋅AE180+90π⋅GH180+90π⋅LH180
=12π(AE+GH+LH)
=12π(AE+ED+LH)
=12π(AD+LH)
=12π(2+25−4)
=(5−1)π，
故答案为：(5−1)π．
【点评】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式l=nπr180，根据黄金矩形的定义求出AB的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
【分析】利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（5分）解方程：3x+1=2x．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：3x＝2x+2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18．（5分）解不等式组：3x−3＜x+7x−4＞x−52．
【分析】解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）设点P（0，x），利用三角形面积公式建立方程求出x值即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）由条件可得−12×8+b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y=−12x+4，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：3=−12×m+4，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x；
（2）由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC=12×(4−x)×2=6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
20．（7分）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cs89°25′37.43′′≈0.00999，cs89°22′38.09′′≈0.01087）
【分析】根据题意，设PH＝x万千米，在Rt△PHB中表示出BH，在Rt△PHA中表示出AH，利用AH+BH＝AB，得到方程，解方程得到结果．
【解答】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′，
∴BH=PHtan∠ABP=xtan89°25′37.43″≈x100，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′，
∴AH=PHtan∠BAP=xtan89°22′38.09″≈x92，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴x100+x92=0.8，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
21．（7分）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【分析】（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；
（2）先计算出种子自然发芽率为35，令y＝35和y＝0时，分别求得x的值，再结合图象求解即可．
【解答】解：（1）观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
c=35a+b+c=564a+2b+c=63，
解得a=−7b=28c=35，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练待定系数求函数解析式是解题的关键．
22．（7分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
【分析】（1）任务一：连接QQ，作QQ的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P′，则点P为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
（2）根据三等分线得到∠CPK=23∠α=50°，再由平行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
（2）如图，
由题意可知l4，l5是∠α的三等分线，
∴∠CPK=23∠α=23×75°=50°，
∴l2∥PK，
∴∠CDE＝∠CPk＝50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称图形的性质，尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键．
23．（7分）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 100 个豌豆荚，图中a＝ 40 ，b＝ 35 ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 C 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【分析】（1）先由B类数量及其所占百分比可得总个数，总个数乘C类对应百分比求出a的值，再根据各类数量之和等于总数即可求得b的值；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据样本估计总体求解即可．
【解答】解：（1）本次调查活动中随机抽取豌豆荚个数为14÷14%＝100（个），
a＝100×40%＝40，
b＝100﹣（5+14+40+6）＝35，
故答案为：100，40，35；
（2）所调查豆子粒数的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C类，
所以所调查豆子粒数的中位数C类中，
故答案为：C；
（3）不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数，从直方图上获得所需信息是解题的关键．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cs∠AEC=53，求OD的长．
【分析】（1）先根据切线的性质得到∠ABD＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用同角的余角相等得到∠ADB＝∠ABC，然后根据圆周角定理得到∠ABC＝∠AEC，从而得到结论；
（2）由（1）的结论得到cs∠ADB＝cs∠AEC=53，在Rt△ABD中根据余弦的定义得到cs∠ADB=DBAD=53，则可设BD=5x，AD＝3x，利用勾股定理得到AB＝2x，所以2x＝4，然后求出x，从而得到BD的长，最后利用勾股定理计算OD的长．
【解答】（1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC；
（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，
∴cs∠ADB＝cs∠AEC=53，
在Rt△ABD中，∵cs∠ADB=DBAD=53，
∴设BD=5x，AD＝3x，
∴AB=(3x)2−(5x)2=2x，
即2x＝4，
解得x＝2，
∴BD＝25，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝25，
∴OD=22+(25)2=26．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
25．（8分）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．
【分析】（1）利用正方形的性质求得EH=2BH，证明△ABE≌△CBG（SAS），推出AE＝CG，根据AH＝AE+EH即可求解；
（2）在AE上截取AM＝CH，证明△MAB≌△HCB（SAS），推出∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，证明△MBH是等腰直角三角形，求得MH=2BH，根据AH＝AM+MH，即可求得AH=CH+2BH；
（3）在CG上截取CM＝AH，证明△ABH≌△CBM（SAS），得到BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，同理，得到△MBH是等腰直角三角形，求得MH=2BH，根据CH＝CM+MH，即可求得CH=AH+2BH．
【解答】解：（1）AH=CH+2BH，理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形ABCD与正方形BEFG，
∴AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，
∴EH=2BH，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AH=AE+EH=CH+2BH；
（2）AH=CH+2BH，理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BCH＝∠MAB，
在AE上截取AM＝CH，
∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，
∴△MAB≌△HCB（SAS），
∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，
∵∠HBG＝90°﹣∠CBH﹣∠EBC，∠EBM＝90°﹣∠MBA﹣∠EBC，
∴∠HBG＝∠EBM，
∴∠MBH＝∠EBM+∠EBC+∠CBH＝∠HBG+∠EBC+∠CBH＝∠EBG＝90°，
∴△MBH是等腰直角三角形，
∴MH=2BH，
∵AH＝AM+MH，
∴AH=CH+2BH；
（3）CH=AH+2BH，理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB，
在CG上截取CM＝AH，
∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，
同理，△MBH是等腰直角三角形，
∴MH=2BH，
∵CH＝CM+MH，
∴CH=AH+2BH．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P′在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， P1（﹣1，0） 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据定义，观察P1（﹣1，0），P2（1，2），经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解；
（2）根据正方形的顶点到O的距离为2，则对称之前的点到原点的距离为2，进而求得b的最大值，将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，即可求解；
（3）根据新定义，找到临界值，即OP为⊙T的切线时的情形，求得t的值，即可求解．
【解答】解：（1）如图，当A，N重合时，P1关于ON的对称点为（0，﹣1），在线段AB上，
∵P1（﹣1，0）是图W的“映射点”，
而P2（1，2）关于ON的对称点不在AB上，则P2（1，2）不是图W1的“映射点”，
故答案为：P1（﹣1，0）；
（2）依题意，正方形的顶点到O的距离为12+12=2，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为2，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当p为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
【点评】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键．
甲
乙
平均成绩x（单位：环）
6.58
7.67
方差s2
6.91
0.72
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图

说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．
生长素浓度x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作：
任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．
→
折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．
→
保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．
→
将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．
→
将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．

解决问题
（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点Q′作出点P′；
任务二：在图⑥中作出折痕l3．
（2）若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 °．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
B
D
D
C
A
A
C
D
甲
乙
平均成绩x（单位：环）
6.58
7.67
方差s2
6.91
0.72
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图

说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．
生长素浓度x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作：
任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．
→
折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．
→
保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．
→
将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．
→
将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．

解决问题
（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点Q′作出点P′；
任务二：在图⑥中作出折痕l3．
（2）若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 50 °．