天津市和平区2024-2025学年高三下学期第三次质量调查数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分)
1. 设全集，集合，，（ ）
2. 命题“，”的否定是（ ）
3. 函数在区间的图象大致为（ ）
4. 下列结论中不正确的是（ ）
5. 已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
6. 已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（ ）
7. 定义新运算：，已知数列满足，，则（ ）
8. 设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（ ）
9. 定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
10. i是虚数单位，则_____．
11. 若二项式的展开式中，的系数为，则_____．
12. 已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为_____．
13. 袋中有3个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则__________，__________．
14. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____．
15. 若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，_____；（ⅱ）的最小值为_____．
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)
16. 在中，角、、所对的边分别为、、，，，
(1)求角的大小；
(2)求的值与的面积；
(3)求的值．
17. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，、分别是、延长线上的点，且，．
(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18. 已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若．
（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．
(1)求椭圆离心率；
(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．
20. 已知函数，的导函数为，函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）记，求证：．
天津市和平区2024-2025学年高三下学期第三次质量调查数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面解析几何、空间向量与立体几何、数列、复数、等式与不等式、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．
C．
D．
A．已知随机变量，若，则
B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好
C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30
D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．239
B．225
C．211
D．261
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
13
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
交并补混合运算
2
0.85
特称命题的否定及其真假判断
3
0.65
函数图像的识别；函数奇偶性的定义与判断；正弦函数图象的应用
4
0.85
解释回归直线方程的意义；相关系数的意义及辨析；分类加法计数原理；二项分布的方差
5
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程
6
0.65
圆柱表面积的有关计算；圆锥表面积的有关计算；圆锥的结构特征辨析
7
0.85
累加法求数列通项
8
0.65
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；求正弦（型）函数的最小正周期；二倍角的余弦公式
9
0.4
函数不等式恒成立问题；根据分段函数的值域（最值）求参数；指数函数最值与不等式的综合问题
二、填空题
10
0.65
求复数的模；复数代数形式的乘法运算
11
0.65
由项的系数确定参数；求指定项的系数
12
0.65
相交圆的公共弦方程；根据抛物线上的点求标准方程；由圆心（或半径）求圆的方程
13
0.65
计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值；组合数的计算
14
0.85
基本不等式“1”的妙用求最值
15
0.65
数量积的坐标表示；数量积的运算律
三、解答题
16
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；余弦定理解三角形；辅助角公式；三角形面积公式及其应用
17
0.85
线面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；面面角的向量求法
18
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；错位相减法求和；等差数列通项公式的基本量计算；裂项相消法求和
19
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中的定值问题
20
0.15
利用导数证明不等式；利用导数求函数（含参）的单调区间；根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
函数与导数
3,9,20
3
三角函数与解三角形
3,8,16
4
计数原理与概率统计
4,11,13
5
平面解析几何
5,12,19
6
空间向量与立体几何
6,17
7
数列
7,18
8
复数
10
9
等式与不等式
14
10
平面向量
15