河北省唐山市2025年九年级中考第三次模拟考试试卷数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市2025年九年级中考第三次模拟考试试卷数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
2. 图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点后，测得，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
故选：．
3. 如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（ ）
A. 表示的点B. 表示的点
C. 表示的点D. 表示的点
【答案】B
【解析】A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意；
B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意；
C选项：，在和之间，故C选项不符合题意；
D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意．
故选：B．
4. 下列数中，能使的值为负数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
解得：，
故选：A．
5. 节肢动物是种类最多的动物类群，目前已命名的种类有120万种，占所有已知动物种类的左右，则所有已知动物的种类数用科学记数法表示为（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】∵，
∴所有已知动物的种类数为万种，
万，
故选：C．
6. 四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（ ）
A. 只有嘉嘉的回答正确B. 只有淇淇的回答正确
C. 两人的回答都正确D. 两人的回答都不正确
【答案】B
【解析】观察图形可得，，，，
∴，
嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加时，有，不能得到四边形是平行四边形，因此嘉嘉的回答不正确；
淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．有，利用一组对边平行且相等，可得四边形是平行四边形，因此淇淇的回答是正确的．
故选：B.
7. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（ ）
A. B. C. D. 57°
【答案】B
【解析】中，，
，
绕点B逆时针旋转得到，
，，，
又可知，是等腰三角形，顶角为（旋转角等于原角），
底角，
，
故选：B．
8. A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（ ）
A. -2B. 0C. 2D. 0或2
【答案】C
【解析】由题意得
，
解得：，，
A，B是数轴上不同的两点，
，
，
故选：C．
9. 一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∵一个正方体相对两面的整式之积均相等，
∴
解得，
故选：D
10. 如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（ ）
A. 点在边的垂直平分线上
B. 点为的外心
C. 平分
D. 直线与的外接圆相切
【答案】C
【解析】∵点为的外心，
∴，
∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴点为外心，
故选项B正确，不符合题意，
∵，
∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径，
∵，
∴直线与的外接圆相切，
故选项D正确，不符合题意，
不一定平分，故选项C错误，符合题意，
故选：C．
11. 如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，
由平行光可知，
，
当的影子落在左边端点时，
，
，
，
当影子落在右边端点时，
，
，
满足条件的为．
故选：C．
12. 题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 只有乙答的对
C. 两人答案合在一起才完整D. 两人答案合在一起也不完整
【答案】D
【解析】根据题意作出点和点关于直线的对称点：点和点．直线交轴于点，交轴于点，如图：
点和点在同一个反比例函数图象上，
，即：，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
过点作直线交于点，过点作交于点，
根据点的坐标可得，点在直线上；根据点的坐标可知点在直线上，
由求解出点的坐标为，
由求解出点的坐标为，
根据轴对称的性质，点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
则，，
同理可得：，，
当线段与轴有交点时，，即：，解得：，
当线段与轴有交点时，，即：，解得：，
，整数的值为2，3，4，5，6．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩一排的5个余座，如图所示．若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为_____．
【答案】
【解析】选定的车厢只剩一排的5个余座，靠窗（紧邻窗户）座位只有2个，
∴嘉淇的爸爸购买到靠窗（紧邻窗户）座位的概率为，
故答案为：．
14. 计算：_____．
【答案】42
【解析】，
故答案为：42．
15. 有一个数学游戏，如图． A、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填_____．
【答案】
【解析】∵，
，
∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数．
∴，，，
∴．
故答案为： ．
16. 如图，点A是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____．
【答案】2
【解析】如图，连接，
假设的面积为，
∵点是线段的中点，
∴的面积为，
∵点，是线段的三等分点，
∴的面积为，的面积为，
∴的面积为，
∵点，，是线段的四等分点，
∴的面积为，
同理，的面积为，
∴的面积为，
解得，
∴的面积为2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 有一道习题的解答过程如图所示，其中是整式．
习题：计算：
解：原式=
=……
（1）求整式；
（2）写出原习题正确的解答过程．
解：（1）；
（2）原式
．
18. 某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为．
（1）请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；
（2）若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值．
（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
得到的新的两位数为，
，且为整数，这个新的两位数能被9整除；
（2）解：由题意，
得，
解得．
19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同．
（1）①通过计算补全折线统计图；
②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数；
（2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．”
淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．”
请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理；
（3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次．
（1）解：①设乙同学第次测试成绩为，
由题意得，，
解得，
∴乙同学第次测试成绩为次，
∴补全折线统计图如下：
②乙同学次引体向上测试成绩由低到高排列为，，，，，
∴中位数为，众数为；
（2）解：选择嘉嘉的说法，由折线统计图可知，甲同学数据的波动较小，方差小，测试成绩较为稳定，所以选择甲同学；
选择淇淇的说法，由于乙同学的中位数是次，众数也是次，获胜的可能性较大，而甲同学的中位数是次，众数也是次，均低于次，所以选择乙同学；
（3）解：∵乙同学前次的成绩排列为，，，，，要使中位数不变，则排名第和排名第的成绩应均为，
∴第次成绩的可为或，
∴第次成绩的最小值为，
故答案为：．
20. 圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图，是拱门外轮廓所在的圆，其圆心为，半径为，拱门最下端的弦（在地面上）宽．
（1）尺规作图：在图上，作出拱门的最高点（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（2）求（1）中所作的最高点到地面的距离；
（3）现要往房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？
（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，设与交于点，连接，
，
，
在中，，
，
，
最高点到地面的距离为；
（3）解：如图，设弦，且于点，连接，
，
，
，
，
工人需将桌面至少抬高，才能使圆桌面通过拱门．
21. 如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母．
测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，．
（1）求的度数；
操作 如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合．
探究 （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？
（参考数据：取，取，取，取1.73）
解：（1）连接，如图：
六边形为正六边形，
，
根据对称性，平分和，
，
，
，
，
；
（2）过点作于点，连接，如图：
，，
，
，
在中，，，
，
，
由（1）可知，，
在中，，
，
由题意可知，和之间的距离由的长变成的长，
，
即经上述操作后，钳口和之间的距离减少了．
22. 国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元．
（1）求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
（2）受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办．
①试推算与应满足的数量关系；
②若三种手办售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值．
（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元；
（2）解：①第一批手办的销售额为元，
第二批每套“哪吒”手办的进价为元，
第二批每套“敖丙”手办的进价为元，
根据题意得：，
整理可得：；
②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，∴w随a的增大而减小，
∵a与b均为正整数，，且，
∴a的最小值为132，
∴当时，w取得最大值，最大值为元，
∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元．
23. 如图1和图2，矩形中，，，点是边的中点，连接．点是边上的一点（可与点，重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角三角形，其中．
（1）点与点的最小距离为_____；
（2）当点不与点重合时，求证：；
（3）当点落在上时，如图2，求的长；
（4）当点在矩形的内部（不含边界）时，直接写出四边形面积的最大值．
（1）解：如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
，
当取值最小时，值最小，
最小值为的长，即，
∴，
故答案为：2；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：，
，
三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，即，， ，
，
又，
，
，
；
（4）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∴，四边形为矩形，
由（3）得，且，
∴，
∵三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，
∴，
设，
，
，，
∴,
∴四边形的面积

，
点在矩形内部，
，
解得，
，
当时，四边形的面积有最大值．
24. 如图1．抛物线（为常数）与轴交于点．
（1）求证：抛物线一定与轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧；
（2）抛物线经过点．
①求抛物线的顶点坐标：
②若．函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围．
（3）在（2）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线，与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2．
①直接写出的最小值；
②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值．
（1）证明：在中，
判别式，
∴抛物线一定与轴有两个交点，
设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，
∵，
∴这两个交点分别在原点的两侧；
（2）解：①∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵与y轴相交于点，
∴点D关于直线的对称点为，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点时和，
最高点与最低点的竖直距离为1，
结合图象可得，；
（3）解：①由（2）知，抛物线的函数表达式为，
即，顶点为，
又∵抛物线的函数表达式为，
即，顶点为，
∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位得到的，
∴，
∴k的最小值为；
②在中，令，得，
解得：，，
∴，，
令，得，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
∵直线，且直线l经过点C，
∴直线l的表达式为，
设直线l与抛物线的对称轴交于点K，
当时，，
∴，
设，则，
∴，则，
当时，若点P在直线AB上时，则，
∴，
即，
解得：，（舍），
此时，点Q在点K的上方，
∴；
当时，如图，点N的纵坐标，
∴点Q在点K的上方，
四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半；
当时，如图，
设直线l与交于点L，则，
∴，
，
由题意得：，
∴，
解得：，（舍），
综上，点M横坐标为或．