上海市控江中学2024-2025学年高三下学期5月调研考试数学试卷（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 函数的定义域为__________.
2. 已知集合，集合，则_____.
3. 设.已知向量与向量满足，则_____.
4. 设.已知(其中是虚数单位)，则_____
5. 设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____.
6. 已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____
7. 在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为_____
8. 在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为______.
9. 甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为_____.
10. 已知随机变量，且等式对恒成立，则._____.(结果保留四位小数)(参考数据:，，
11. 设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为______.
12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 下列函数中，存在驻点的是（ ）
14. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）.
15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）
16. 已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（ ）.
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面.
(1)求证:直线；
(2)求直线与平面所成角的大小.
18. 设常数.已知函数.
(1)若，求在区间上的零点；
(2)若在上严格增，求的取值范围.
19. 为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”.
(1)小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求；
(2)小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下:
在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大.
①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望；
②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数?
20. 已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点.
(1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程；
(2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标;
(3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值.
21. 设.已知.
(1)若，求函数的值域；
(2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围；
(3)若且函数有最小值，求的取值范围.
上海市控江中学2024-2025学年高三下学期5月调研考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：函数与导数、集合与常用逻辑用语、平面向量、复数、平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、数列、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
颜色
黑色
红色
白色
得分
+10
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
7
适中
8
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
求对数型复合函数的定义域
2
0.94
交集的概念及运算
3
0.85
由向量共线（平行）求参数
4
0.85
求复数的模；复数的除法运算
5
0.94
圆的一般方程与标准方程之间的互化；二元二次方程表示的曲线与圆的关系
6
0.85
圆锥表面积的有关计算
7
0.85
求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
8
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
9
0.85
利用对立事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式
10
0.85
正态曲线的性质；指定区间的概率
11
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
12
0.65
和差化积公式；空间向量数量积的应用
二、单选题
13
0.94
基本初等函数的导数公式
14
0.85
判断命题的充分不必要条件
15
0.65
由正弦（型）函数的奇偶性求参数
16
0.65
等差数列前n项和的基本量计算；数列新定义；判断命题的真假
三、解答题
17
0.65
求线面角；线面垂直证明线线垂直；证明线面垂直
18
0.65
求函数的零点；利用正弦型函数的单调性求参数；根据函数零点的个数求参数范围；由函数在区间上的单调性求参数
19
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；计算条件概率；基本不等式求和的最小值；求离散型随机变量的均值
20
0.4
利用椭圆定义求方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；求两曲线的交点
21
0.4
函数与方程的综合应用；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用函数单调性求最值或值域；由导数求函数的最值（含参）
序号
知识点
对应题号
1
函数与导数
1,13,18,21
2
集合与常用逻辑用语
2,14,16
3
平面向量
3
4
复数
4
5
平面解析几何
5,11,20
6
空间向量与立体几何
6,12,17
7
计数原理与概率统计
7,9,10,19
8
三角函数与解三角形
8,11,12,15,18
9
数列
16
10
等式与不等式
19