2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，O、O1分别为矩形ABCD、矩形A1B1C1D1对角线的交点，则平面A1BC1与平面BB1D1的交线为( )
A. 直线OO1
B. 直线OB1
C. 直线O1B
D. 直线OD1
2.把函数y=csx的图像向右平移π2个单位得到曲线C1，再把曲线C1上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，则曲线C2相应的函数解析式可以是( )
A. y=sin2xB. y=−cs2xC. y=cs(x2−π4)D. y=sinx2
3.已知常数λ∈R，有穷数列{an}共有7项，其通项公式为an=−2n2+9n+λ(1≤n≤7)，对于任意满足1≤k≤7的正整数k，记bk为a1，a2，…，ak中正数的个数，则下列情形不可能成立的是( )
A. b4=1且b5=1B. b4=3且b3=4C. b3=4且b6=4D. b5=5且b6=6
4.已知O为原点，坐标平面上两两不同的4个点A1，A2，A3，A4满足A1，A2，A3，A4中的任意3点不共线，OA1+OA2+OA3+OA4≠0，|OA1+OA2|=|OA3+OA4|，|OA1+OA3|=|OA2+OA4|.对于命题：①存在A1，A2，A3，A4，使得4个向量A1A2,A2A3,A3A4,A4A1中的任意2个都不平行；②在|OA1|,|OA2|,|OA3|,|OA4|这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若a=(1,1)，则|a|=______．
6.函数y=sin2x的最小正周期是______．
7.在等比数列{an}中，a1=1，a3=2，则a5=______．
8.若复数z=i+1i(i为虚数单位)，则z−=______．
9.已知等差数列{an}的公差为1，前10项和为5，则a1= ______．
10.已知坐标平面上的三点A(2,1)，B(−3,−2)，C(3,1)，则AB在AC方向上的数量投影为______．
11.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，…”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了______里路．
12.设复数z满足|z−1|=1，则|z+2−i|(i为虚数单位)的最大值为______．
13.函数y=sin(x+π3)cs(x+π3),x∈[0,π2]的严格减区间为______．
14.已知常数φ∈R，函数y=sinx+3cs(x+φ)为偶函数，则cs2φ=______．
15.已知数列{an}满足a1=1，且对任意正整数n，恒有an+1−an∈{0,3n}，则a100所有可能值的个数为______．
16.在同一平面上，已知两圆ω1，ω2的圆心均为O，半径分别为1，2，常数λ∈R.若在圆ω1上存在定点A以及在圆ω2上存在定点B，使得对该平面上的任意一个单位向量e，恒有|OA⋅e|+|OB⋅e|≤λ，则λ的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知常数a，b∈R，关于x的方程x2+ax+b=0在复数集中有两个虚根．
(1)若b=1，求a的取值范围；
(2)若其中一个虚根为1+i(i为虚数单位)，求a，b的值．
18.(本小题14分)
在△ABC中，csA=45，AC=1．
(1)若AB=2，求BC的长；
(2)若sinC=513，求△ABC的面积．
19.(本小题14分)
某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年的收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第n(n为正整数)年苹果的收获量为an，梨的收获量为bn(单位：吨)，可知a1=6，b1=8．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an−bn}最大项的值(精确到0.1)以及相应项的序数，并说明其实际意义．
20.(本小题18分)
在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(3,0)，C(0,4)，以AB为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的AB上的动点，M为x轴上的动点．
(1)求AC的单位向量的坐标；
(2)若M的坐标为(−4,0).设OP与OB的夹角为θ，OP=λMA+μMC，用θ表示λμ，并求λμ的最大值；
(3)若四边形CPMQ为平行四边形，N为线段CM上靠近M的三等分点，求|PQ⋅ON|的最大值．
21.(本小题18分)
对于函数y=f(x)，若数列{an}使得数列{f(an)}是公比为q的等比数列，则称数列{an}是函数y=f(x)的“关联数列”，且“关联常数”为q．
(1)设无穷数列{an}的通项公式为an=π2n，判断数列{an}是否为函数y=sinx的“关联数列”，并说明理由；
(2)已知α,β∈(0,π2)，有穷数列{an}共有3项，满足a1=α−β，a2=α，a3=α+β，若数列{an}是函数y=tanx的“关联数列”，且“关联常数”为3，求α，β的值；
(3)设定义域为[0,+∞)的函数y=f(x)同时满足：①函数y=f(x)−2x是以1为周期的周期函数；②对任意x∈[0,1)，恒有0