2024~2025学年上海市嘉定区高三上学期期末数学试卷（一模）附解析

这是一份2024~2025学年上海市嘉定区高三上学期期末数学试卷（一模）附解析，共20页。
1．（4分）函数f（x）＝lg2（x2﹣1）的定义域为 ．
2．（4分）直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为 ．（用反三角函数表示）
3．（4分）如果复数z满足i⋅z=1+2i（i为虚数单位），则z＝ ．
4．（4分）在△ABC中，若AB＝5，BC=21，CA＝4，则∠A＝ ．
5．（4分）已知双曲线C：x23−y22=1，则双曲线C的离心率是 ．
6．（4分）某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 ．
7．（5分）在(x−1x)9的二项展开式中x3项的系数为 ．
8．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 ．
9．（5分）已知f（x）＝ln（x+1），g（x）=f(x)，x≥0f(−x)，x＜0，则g（x）＞x+2﹣e的解集为 ．
10．（5分）已知空间向量OB1→，OB2→，OB3→两两垂直，若空间点A满足|AB1→|=|AB2→|=|AB3→|=1，记OP→=OB1→+OB2→+OB3→，且|AP→|≤1，则|OA→|的取值范围为 ．
11．（5分）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，圆弧形桥面ACB所在圆的半径为4米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面ACB的修建费用是每米2.5万元，设∠ADO＝θ，根据空间限制及桥面坡度的限制，θ的范围为arcsin13≤θ≤π6，则当桥面修建总费用最低时θ的值为 ．
12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1−1|2+|x2+y2−1|2的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（4分）已知a为正数，则“a＞3”是“aa＞a3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（4分）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l⊥α的是（ ）
A．α⊥β，l∥βB．l⊥a，a∥α
C．l∥a，a⊥αD．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α
15．（5分）假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件B：一个家庭中最多有一个女孩．针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）
A．①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B相互独立
B．①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B相互独立
C．①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立
D．①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立
16．（5分）已知数列{an}满足an+1＝ran（1﹣an）（n＝1，2，3，…），a1∈（0，1），给出以下四个结论：
①当r＝2时，存在有限个a1，使得对任意正整数n，都有an+1＞an
②当r＝2时，存在a1和正整数P，当n＞P时，an+1﹣an＜12025
③当r＝3时，存在a1和正整数P，当n＞P时，an+1＝an
④当r＝﹣3时，不存在a1，使得对任意正整数n，且n≥3，都有an＞0
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC，点E、F分别为棱BC和A1C1的中点．
（1）若底面△ABC为边长为2的正三角形，且CC1＝BC，侧棱CC1与底面ABC所成的角为60°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求证：EF∥平面AA1B1B．
18．（14分）已知f(x)=2cs(ωx+3π4)，其中ω＞0．
（1）若ω＝2，求函数y=f(x)，x∈[−π4，π4]的值域；
（2）若f(π4)=0，且函数y＝f（x）在(π4，π3)内有极小值，但无极大值，求ω的值．
19．（14分）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决．比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6．
比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据．甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：24，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39．
然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止．请回答以下问题：
（1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲、乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间；
（2）根据所给数据，绘制甲、乙两队队员的击杀数分布的茎叶图；
（3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金．
20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x25+y24=1，F1、F2是其左、右焦点，过椭圆Γ右焦点F2的直线PQ交椭圆于P、Q两点．
（1）若PF1→⋅PF2→=3，求点P的坐标；
（2）若△F1PQ的面积为4021，求直线PQ的方程；
（3）设直线l与椭圆Γ交于A，B两点，M为线段AB的中点．当kOM•kAB＝kOA•kOB时，△OAB的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
21．（18分）设A为非空集合，函数f（x）的定义域为D．若存在x0∈D使得对任意的x∈D均有f（x）﹣f（x0）∈A，则称f（x0）为函数f（x）的一个A值，x0为相应的A值点．
（1）若A＝[﹣2，0]，f（x）＝sinx．证明：x0＝2kπ+12π，k∈Z是函数f（x）的一个A值点，并写出相应的A值；
（2）若A＝[0，+∞），f（x）＝﹣x，g（x）＝x2+x+1．分别判断函数f（x）、g（x）是否存在A值？若存在，求出相应的A值点；若不存在，说明理由；
（3）若A＝（﹣∞，0]，且函数f（x）＝lnx+ax2（a∈R）存在A值，求函数f（x）的A值，并指出相应的A值点．
答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1．（4分）函数f（x）＝lg2（x2﹣1）的定义域为 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．
【分析】根据对数函数成立的条件进行求解即可．
解：要是原式有意义，则x2﹣1＞0，则x＞1或x＜﹣1，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
2．（4分）直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为 arctan3 ．（用反三角函数表示）
【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为3，
所以直线的倾斜角为arctan3．
故arctan3．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
3．（4分）如果复数z满足i⋅z=1+2i（i为虚数单位），则z＝ 2+i ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．
解：∵i⋅z=1+2i，
∴z=1+2ii=(1+2i)(−i)−i2=2−i，
则z＝2+i．
故2+i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4．（4分）在△ABC中，若AB＝5，BC=21，CA＝4，则∠A＝ π3 ．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
解：AB＝5，BC=21，CA＝4，
则BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•csA＝25+21﹣2×5×4×csA＝21，解得csA=12，
A∈（0，π），
则A=π3．
故π3．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
5．（4分）已知双曲线C：x23−y22=1，则双曲线C的离心率是 153 ．
【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率．
解：由双曲线C：x23−y22=1，可得a=3，b=2，c=3+2=5，
所以双曲线C的离心率e=ca=153．
故153．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（4分）某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 2π ．
【分析】利用圆锥的侧面积公式即可得解．
解：因为圆锥的母线长为l＝2，底面半径为r＝1，
所以圆锥的侧面积为πrl＝2π．
故2π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式，是基础题．
7．（5分）在(x−1x)9的二项展开式中x3项的系数为 ﹣84 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3项的系数．
解：由于（x−1x）9的二项展开式的通项公式为 Tr+1＝（﹣1）r•C9r•x9﹣2r，
令9﹣2r＝3，求得r＝3，
故展开式中x3项的系数为：−C93=−84．
故﹣84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，则c的取值范围为 （6，7） ．
【分析】由a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，结合数列的通项公式，解不等式可得所求取值范围．
解：数列{an}的通项公式为an＝﹣n+c，其中c为常数，
设数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S5且S6＞S7，
则a6＝S6﹣S5＞0，且a7＝S7﹣S6＜0，
即有c﹣6＞0，且c﹣7＜0，
解得6＜c＜7，即c的取值范围是（6，7）．
故（6，7）．
【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，考查运算能力，属于基础题．
9．（5分）已知f（x）＝ln（x+1），g（x）=f(x)，x≥0f(−x)，x＜0，则g（x）＞x+2﹣e的解集为 （﹣∞，e﹣1） ．
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当x≥0时，将g（x）＞x+2﹣e转化为ln（x+1）﹣x﹣2+e＞0，利用导数研究不等式左边对应函数的单调性，求出解集为[0，e﹣1）；当x＜0时，根据函数的单调性证出g（x）＞0在（﹣∞，0）上恒成立，y＝x+2﹣e在（﹣∞，0）上的最大值小于0，由此得出g（x）＞x+2﹣e（﹣∞，0）上恒成立．然后取两种情况的并集，即可得到本题的答案．
解：根据f（x）＝ln（x+1），g（x）=f(x)，x≥0f(−x)，x＜0，
①当x≥0时，不等式g（x）＞x+2﹣e可化为ln（x+1）＞x+2﹣e，
即ln（x+1）﹣x﹣2+e＞0，设h（x）＝ln（x+1）﹣x﹣2+e，x≥0．
则h′（x）=1x+1−1=−xx+1＜0在（0，+∞）上成立，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
结合h（e﹣1）＝lne﹣（e﹣1）﹣2+e＝0，可知h（x）＞0等价于0≤x＜e﹣1，
因此，当x≥0时，不等式g（x）＞x+2﹣e的解集为[0，e﹣1）．
②当x＜0时，g（x）＞x+2﹣e即f（﹣x）＞x+2﹣e，可化为ln（﹣x+1）＞x+2﹣e．
函数y＝ln（﹣x+1）在（﹣∞，0）上为减函数，可得ln（﹣x+1）＞ln1＝0；
y＝x+2﹣e在（﹣∞，0）上为增函数，可得x+2﹣e＜2﹣e＜0，
所以不等式ln（﹣x+1）＞x+2﹣e在（﹣∞，0）上恒成立，
即x＜0时，g（x）＞x+2﹣e的解集为（﹣∞，0）．
综上所述，不等式g（x）＞x+2﹣e的解集为（﹣∞，0）∪[0，e﹣1）＝（﹣∞，e﹣1）．
故（﹣∞，e﹣1）．
【点评】本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
10．（5分）已知空间向量OB1→，OB2→，OB3→两两垂直，若空间点A满足|AB1→|=|AB2→|=|AB3→|=1，记OP→=OB1→+OB2→+OB3→，且|AP→|≤1，则|OA→|的取值范围为 [1，62] ．
【分析】根据OB1→，OB2→，OB3→两两垂直，证出（OB1→+OB2→+OB3→）2＝|OB1→|2+|OB2→|2+|OB3→|2．然后根据|AB1→|=|AB2→|=|AB3→|=1，利用向量的减法运算法则、平面向量的数量积及其运算性质，推导出2|OA→|2+[OA→−（OB1→+OB2→+OB3→）]2＝3，结合OP→=OB1→+OB2→+OB3→，可得2|OA→|2+（OA→−OP→）2＝3，即|PA→|2＝3﹣2|OA→|2，最后根据|AP→|≤1算出|OA→|的取值范围，即可得到本题的答案．
解：由空间向量OB1→，OB2→，OB3→两两垂直，可得OB1→•OB2→=OB2→•OB3→=OB3→•OB1→=0，
所以（OB1→+OB2→+OB3→）2＝|OB1→|2+|OB2→|2+|OB3→|2+2OB1→•OB2→+2OB2→•OB3→+2OB3→•OB1→=|OB1→|2+|OB2→|2+|OB3→|2．
因为|AB1→|=|AB2→|=|AB3→|=1，
所以AB1→2+AB2→2+AB3→2=3，可得（OB1→−OA→）2+（OB2→−OA→）2+（OB3→−OA→）2＝3，
即3|OA→|2﹣2OA→•（OB1→+OB2→+OB3→）+|OB1→|2+|OB2→|2+|OB3→|2＝3，
可得2|OA→|2+[|OA→|2﹣2OA→•（OB1→+OB2→+OB3→）+（OB1→+OB2→+OB3→）2]＝3，
即2|OA→|2+[OA→−（OB1→+OB2→+OB3→）]2＝3，
结合OP→=OB1→+OB2→+OB3→，可得2|OA→|2+（OA→−OP→）2＝3，
即2|OA→|2+|PA→|2＝3，可得|PA→|2＝3﹣2|OA→|2．
因为|PA→|=|AP→|≤1，即|PA→|2≤1，
所以0≤3﹣2|OA→|2≤1，解得1≤|OA→|≤62，即|OA→|的取值范围为[1，62]．
故[1，62]．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算与数量积运算、向量的模的公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
11．（5分）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，圆弧形桥面ACB所在圆的半径为4米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面ACB的修建费用是每米2.5万元，设∠ADO＝θ，根据空间限制及桥面坡度的限制，θ的范围为arcsin13≤θ≤π6，则当桥面修建总费用最低时θ的值为 arcsin25 ．
【分析】由题意知，求得总费用y=0.4×2AD+2.5×2θ×4=3.2csθsinθ+20θ，求导，判定其单调性，即可得总费用最小时的θ值．
解：由题意知，tanθ=4AD，所以AD=4tanθ，∠AOB=π−2(π2−θ)=2θ，
则总费用为y=0.4×2AD+2.5×2θ×4=3.2csθsinθ+20θ，
令y′=3.2(−sinθ)sinθ−3.2csθcsθsin2θ+20=−3.2+20sin2θsin2θ=0，
所以sin2θ＝0.16，所以sinθ＝0.4，
当sinθ∈(13，25)时，y'＜0，y单调递减，
当sinθ∈(25，12)时，y'＞0，y单调递增，
则当sinθ=25，即θ=arcsin25时，
总费用y=3.2csθsinθ+20θ取到最小值．
故arcsin25．
【点评】本题考查函数及三角函数的综合应用，属中档题．
12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1−1|2+|x2+y2−1|2的最小值为 6−24 ．
【分析】根据条件和问题中代数式的结构，构造点A（x1，y1），B（x2，y2），则所求为A、B到直线x+y﹣1＝0的距离之和，在A、B运动的过程中寻找最小值即可．
解：记A（x1，y1），B（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1可知点A、B在单位圆x2+y2＝1上，
又OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=12，所以∠AOB=π3，
构造直线l：x+y﹣1＝0，则点A到直线l的距离d1=|x1+y1−1|2，点B到直线l的距离d2=|x2+y2−1|2，
若A、B在直线l的同侧（含A或B在直线l上）时，如图所示，
过A作l的垂线交l于A1，过B作l的垂线交l于B1，记AB中点为C，过C作l的垂线交l于C1，
则|x1+y1−1|2+|x2+y2−1|2=d1+d2＝|AA1|+|BB1|＝2|CC1|，
要使A、B在直线l同侧，则C到直线l越近，|CC1|越小，显然当A（1，0）或A（0，1）或B（0，1）或B（1，0）时最小，
此时d1+d2＝|AB|sin15°＝sin15°或sin75°，所以(d1+d2)min=sin15°=6−24，
若A、B位于直线l异侧，设直线l与AB夹角为θ，则d1+d2＝|AB|sinθ＝sinθ，
如图所示，此时15°＜θ＜75°，所以d1+d2＞sin15°=6−24，
综上所述，d1+d2的最小值为6−24．
故6−24．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，圆的方程，点和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想方法，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（4分）已知a为正数，则“a＞3”是“aa＞a3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】当a＞3时，利用指数函数的单调性即可判断，当aa＞a3时再分a＞1与0＜a＜1讨论即可求解．
解：当a＞3时，因为函数y＝ax是单调递增函数，则一定有aa＞a3，
当aa＞a3时，当a＞1时，则a＞3，当0＜a＜1时，则a＜3，
故“a＞3”是“aa＞a3”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了四个条件的应用，涉及到指数函数的单调性，属于基础题．
14．（4分）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l⊥α的是（ ）
A．α⊥β，l∥βB．l⊥a，a∥α
C．l∥a，a⊥αD．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α
【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果．
解：对于A，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；
对于B，l⊥a，a∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；
对于C，l∥a，a⊥α，由线面垂直的性质知l⊥α，故C正确；
对于D，l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系判定，属基础题．
15．（5分）假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件B：一个家庭中最多有一个女孩．针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）
A．①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B相互独立
B．①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B相互独立
C．①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立
D．①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立
【分析】利用相互独立事件的定义进行判断．
解：假定生男生女是等可能的，
设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件B：一个家庭中最多有一个女孩，
①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，
在①中，P（A）=24=12，P（B）=34，P（AB）=24=12，
P（AB）≠P（A）P（B），
∴①中事件A与事件B不相互独立；
在②中，P（A）＝1−18−18=34，P（B）=48=12，
P（AB）=38，
P（AB）＝P（A）P（B），
∴②中的事件A与事件B相互独立．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）已知数列{an}满足an+1＝ran（1﹣an）（n＝1，2，3，…），a1∈（0，1），给出以下四个结论：
①当r＝2时，存在有限个a1，使得对任意正整数n，都有an+1＞an
②当r＝2时，存在a1和正整数P，当n＞P时，an+1﹣an＜12025
③当r＝3时，存在a1和正整数P，当n＞P时，an+1＝an
④当r＝﹣3时，不存在a1，使得对任意正整数n，且n≥3，都有an＞0
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【分析】分析数列单调性可考虑研究an+1﹣an或an+1an，数列有界性则往往从递推式出发结合数学归纳法得到；对于存在性问题，可通过举特例来说明．
解：对于①、②，当r＝2时，an+1＝2an（1﹣an），由a1∈（0，1）可得a2∈（0，1），……，an∈（0，1），
进一步的，可得an+1≤2×(an+1−an2)2=12，故an∈(0，12]，n≥2，n∈N*，此时an+1an=2(1−an)≥1，
故当a1∈(0，12)时，恒有an+1＞an，①错误，
不妨取a1=14，则14≤an＜12，所以1−2an+11−2an=1−4an(1−an)1−2an=1−2an≤12，递推可得1﹣2an≤（1﹣2a1）(12)n−1=(12)n，
故an+1−an=an(1−2an)＜1−2an2≤12n+1，取P＝10，即有当n＞P时，an+1﹣an＜12025，故②正确；
对于③，当r＝3时，an+1＝3an（1﹣an），取a1=23，则a2=23，……，an=23，故③正确；
对于④，当r＝﹣3时，取a1=12，则a2=−34，a3=6316，易知a4＝a3（3a3﹣3）＞a3=6316，a5＝a4(3a4−3)＞a4=6316，……，
即对任意正整数n，且n≥3，都有an＞0，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查利用数列递推关系和数学归纳法来研究数列的单调性和有界性，难度中等．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC，点E、F分别为棱BC和A1C1的中点．
（1）若底面△ABC为边长为2的正三角形，且CC1＝BC，侧棱CC1与底面ABC所成的角为60°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求证：EF∥平面AA1B1B．
【分析】（1）根据棱柱的体积公式，即可求解；
（2）根据面面平行的判定定理，面面平行的性质，即可证明．
解：（1）∵底面△ABC为边长为2的正三角形，CC1＝BC，
又侧面BB1C1C⊥底面ABC，∴侧棱CC1与底面ABC所成的角为∠C1CB＝60°，
∴△C1CB为边长为2的等边三角形，又E为BC中点，
∴C1E⊥BC，且C1E=3，又侧面BB1C1C⊥底面ABC，
∴C1E⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为12×2×2×32×3=3；
（2）证明：如图，取B1C1的中点G，连接GF，GE，又E、F分别为棱BC和A1C1的中点，
∴GF∥B1A1，GE∥B1B，又GF∩GE＝G，
且GF，GE⊂平面GEF，B1A1，B1B⊂平面AA1B1B，
∴平面GEF∥平面AA1B1B，又EF⊂平面GEF，
∴EF∥平面AA1B1B．
【点评】本题考查线面平行的证明，棱柱的体积的求解，属中档题，
18．（14分）已知f(x)=2cs(ωx+3π4)，其中ω＞0．
（1）若ω＝2，求函数y=f(x)，x∈[−π4，π4]的值域；
（2）若f(π4)=0，且函数y＝f（x）在(π4，π3)内有极小值，但无极大值，求ω的值．
【分析】（1）当ω＝2时，f（x）＝2cs（2x+3π4），根据2x+3π4∈[π4，5π4]，利用余弦函数的性质算出f（x）区间[−π4，π4]上的值域；
（2）由f(π4)=0，算出ω＝﹣1+4k（k∈N*），然后根据f（x）在(π4，π3)内有极小值，无极大值，建立关于ω的不等式组，对ω的不同取值加以讨论，进而求出符合题意的答案．
解：（1）若ω＝2，则f（x）＝2cs（2x+3π4），
由x∈[−π4，π4]，得2x+3π4∈[π4，5π4]，
当x=π8时，f（x）有最小值2csπ＝﹣2；当x=−π4时，f（x）有最大值2csπ4=2．
所以f（x）在区间[−π4，π4]上的值域为[﹣2，2]．
（2）若f(π4)=0，则π4ω+3π4=π2+kπ（k∈Z），可得ω＝﹣1+4k（k∈N*），
因为f（x）在(π4，π3)内有极小值，无极大值，
所以2k1π≤π4ω+3π4＜π+2k1ππ+2k1π＜π3ω+3π4≤2π+2k1π，其中k1∈Z．
①当k＝1时，ω＝3，不等式组可化为2k1π≤3π2＜π+2k1ππ+2k1π＜7π4≤2π+2k1π，不存在k1∈Z使不等式组成立；
②当k＝2时，ω＝7，不等式组可化为2k1π≤5π2＜π+2k1ππ+2k1π＜37π12≤2π+2k1π，存在k1＝1使不等式组成立；
③当k＝3时，ω＝11，不等式组可化为2k1π≤7π2＜π+2k1ππ+2k1π＜53π12≤2π+2k1π，不存在k1∈Z使不等式组成立；
④当k＝4时，ω＝15，不等式组可化为2k1π≤9π2＜π+2k1ππ+2k1π＜23π4≤2π+2k1π，存在k1＝2使不等式组成立；
⑤当k≥5时，不论k为何值，均不存在k1∈Z使不等式组2k1π≤π4ω+3π4＜π+2k1ππ+2k1π＜π3ω+3π4≤2π+2k1π成立．
综上所述，满足条件的ω的值等于7或15．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、不等式的解法及其应用，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
19．（14分）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决．比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6．
比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据．甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：24，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39．
然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止．请回答以下问题：
（1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲、乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间；
（2）根据所给数据，绘制甲、乙两队队员的击杀数分布的茎叶图；
（3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金．
【分析】（1）根据样本空间的定义求解；
（2）根据题目数据画出茎叶图即可；
（3）利用独立事件的概率乘法公式求解．
解：（1）设W表示甲队胜，L表示甲队负，
样本空间为Ω＝{WWW，WWLW，WWLLW，WWLLL}；
（2）茎叶图如下：
（3）甲已经连胜两局，接下来甲获胜的情况有以下几种：
第三局甲胜，此时比赛结束，甲获胜，这种情况的概率为25，
第三局乙胜，第四局甲胜，此时甲获胜，概率为35×25=625，
第三局乙胜，第四局乙胜，第五局甲胜，概率为35×35×25=18125，
所以甲获胜的总概率为25+625+18125=98125=0.784，
乙获胜的总概率为1−98125=27125=0.216，
奖金共10万元，甲应得奖金为10×0.784＝7.84万元，乙应得奖金为10﹣7.84＝2.16万元．
【点评】本题主要考查了样本空间的定义，考查了茎叶图的应用，以及独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x25+y24=1，F1、F2是其左、右焦点，过椭圆Γ右焦点F2的直线PQ交椭圆于P、Q两点．
（1）若PF1→⋅PF2→=3，求点P的坐标；
（2）若△F1PQ的面积为4021，求直线PQ的方程；
（3）设直线l与椭圆Γ交于A，B两点，M为线段AB的中点．当kOM•kAB＝kOA•kOB时，△OAB的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由题意，设P（x1，y1），利用向量的坐标运算以及点P既在圆上又在椭圆上，列出等式求解即可；
（2）设出直线PQ的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式和三角形面积公式求解即可；
（3）设A（x3，y3），B（x4，y4），可得4x32+5y32=20，4x42+5y42=20，两式相减并整理得16x32x42+25y32y42+40x3x4y3y4=0，再两式相乘推出x32y42+x42y32−2x3x4y3y4=20，解得(x3y4−x4y3)2=20，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可．
解：（1）易知F1（﹣1，0），F2（1，0），
设P（x1，y1），
此时PF1→⋅PF2→=(−1−x1，−y1)⋅(1−x1，−y1)=x12+y12−1=3，
即x12+y12=4，
易知点P（x1，y1）既在圆上又在椭圆上，
所以x25+y24=1x2+y2=4，
解得x＝0，y＝±2，
即点P的坐标为（0，±2）；
（2）因为F1（﹣1，0），F2（1，0），
设直线PQ的方程为x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立x25+y24=1x=my+1，消去x并整理得（4m2+5）y2+8my﹣16＝0，
由韦达定理得y1+y2=−8m4m2+5，y1y2=−164m2+5，
所以|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=85m2+14m2+5，
所以△F1PQ的面积S=12×2×|y1−y2|=85m2+14m2+5=4021，
解得m2＝4，
即m＝±2，
则满足条件的直线方程为x+2y﹣1＝0和x﹣2y﹣1＝0；
（3）设A（x3，y3），B（x4，y4），
因为A，B两点均在椭圆上，
所以4x32+5y32=20，4x42+5y42=20，
两式相减得4(x32−x42)+5(y32−y42)=0，
即4+5yMxM⋅y3−y4x3−x4=0，
可得kOM⋅kAB=−45，
所以kOA⋅kOB=−45，
所以y3y4x3x4=−45，
此时(4x3x4+5y3y4)2=0，
即16x32x42+25y32y42+40x3x4y3y4=0，
因为4x32+5y32=20，4x42+5y42=20，
两式相乘得6x32x42+25y32y42+20(x32y42+x42y32)=400，
因为16x32x42+25y32y42+40x3x4y3y4=0，
所以x32y42+x42y32−2x3x4y3y4=20，
即(x3y4−x4y3)2=20，
因为直线OA的方程为y=y3x3x，
即y3x﹣x3y＝0，
又点B到直线OA的距离为d=|y3x4−x3y4|x32+y32，
所以△OAB的面积S=12|OA|d=12|x3y4−x4y3|=5．
故△OAB的面积为定值5．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21．（18分）设A为非空集合，函数f（x）的定义域为D．若存在x0∈D使得对任意的x∈D均有f（x）﹣f（x0）∈A，则称f（x0）为函数f（x）的一个A值，x0为相应的A值点．
（1）若A＝[﹣2，0]，f（x）＝sinx．证明：x0＝2kπ+12π，k∈Z是函数f（x）的一个A值点，并写出相应的A值；
（2）若A＝[0，+∞），f（x）＝﹣x，g（x）＝x2+x+1．分别判断函数f（x）、g（x）是否存在A值？若存在，求出相应的A值点；若不存在，说明理由；
（3）若A＝（﹣∞，0]，且函数f（x）＝lnx+ax2（a∈R）存在A值，求函数f（x）的A值，并指出相应的A值点．
【分析】（1）利用定义证明f（x）﹣f（x0）∈A即可得证；
（2）利用定义分别判断即可得解；
（3）由题意可得函数f（x）的A值即为最大值，A值点即最大值点，利用导数求出函数的最大值及最大值点即可．
（1）证明：函数f（x）＝sinx的定义域为R．
对x0=2kπ+π2，k∈Z，以及任意x∈R，
由f（x）﹣f（x0）＝sinx﹣1及﹣1≤sinx≤1，得f（x）﹣f（x0）∈[﹣2，0]，
即f（x）﹣f（x0）∈A，所以x0=2kπ+π2，k∈Z是函数f（x）的一个A值点，f（x0）＝1为相应的A值．
（2）解：函数f（x）＝﹣x的定义域为R．
对任意x0∈R，取x＝x0+2，仍有x＝x0+2∈R，
但f（x）﹣f（x0）＝﹣（x0+2）﹣（﹣x0）＝﹣2∉A，
所以函数f（x）不存在A值，
函数g（x）＝x2+x+1的定义域为R．
g(x)=x2+x+1=(x+12)2+34，
当x0=−12时，对任意x∈R，均有g(x)−g(x0)=(x+12)2≥0，
即g（x）﹣g（x0）∈A，
又对任意x0≠−12，取x=−12，则g(x)−g(x0)=0−(x0+12)2＜0，
即g（x）﹣g（x0）∉A，所以g(x0)=34是函数g（x）仅有的一个A值，
x0=−12是相应的A值点．
（3）解：函数f（x）＝lnx+ax2（a∈R）的定义域为（0，+∞），
由题意得该函数存在A值，设相应A值点为x0∈（0，+∞），
则f（x）﹣f（x0）∈A，即f（x）≤f（x0）对任意x∈（0，+∞）成立，
故函数f（x）的A值即为最大值，A值点即最大值点，
f′(x)=1x+2ax，令f'（x）＝0，得2ax2+1＝0，所以a＜0，
解得驻点x0=−12a，
所以若函数f（x）＝lnx+ax2存在A值，则a＜0，
A值为ln−12a−12，A值点为−12a．
【点评】本题主要考查新定义问题，考查导数的应用，考查运算求解能力，属于难题．
题号
13
14
15
16
答案
A
C
B
B
x
(0，−12a)
−12a
(−12a，+∞)
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
ln−12a−12
单调递减