北京市第九中学2025届高三下保温卷数学模拟试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
3. 若复数满足，则（ ）
4. 抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
5. 已知直线与圆交于，两点，则（ ）
6. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
7. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ）
8. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
9. 如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）

10. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
11. 双曲线的一条渐近线方程可以为_________.
12. 已知向量，，则_________，的最小值为_________.
13. 已知为等腰三角形，且，则_________.
14. 已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.
15. 已知曲线. 给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；
④曲线所围成区域的面积大于.
其中，所有正确结论的序号为_________.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分)
16. 已知函数.
(1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；
(2)若在区间上的最大值为，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.
(1)求证：是的中点；
(2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：
(1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
(2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：
当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；
当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.
①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.
19. 已知椭圆的左顶点为，离心率.
(1)求的标准方程；
(2)设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：.
20. 已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）
21. 已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.
(1)若，，写出的所有可能值；
(2)若.
①当时，求的最大值；
②当时，求的最小值.
北京市第九中学2025届高三保温卷数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、计数原理与概率统计、复数、平面解析几何、数列、函数与导数、空间向量与立体几何、平面向量、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．3
D．
A．
B．
C．
D．
A．在外
B．的长轴长为
C．在内
D．的焦距为
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B．存在点，使得直线与平面垂直
C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D．点到平面的距离不超过
A．
B．
C．
D．
原始成绩
8.75
8.25
8.25
6.75
6.75
6.5
6
5.5
5.25
4.25
3.75
3.25
排名
1
2
2
4
4
6
7
8
9
10
11
12
原始成绩
9.75
8
8
7.5
7.5
6
5.75
5.75
排名
1
2
2
4
4
6
7
7
原始成绩
5
4.75
4.5
4.5
4.25
4
3.75
3.5
排名
9
10
11
11
13
14
15
16
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
2
较易
8
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
求指定项的系数
3
0.85
求复数的模；复数的除法运算
4
0.85
抛物线定义的理解；根据抛物线方程求焦点或准线
5
0.85
圆的弦长与中点弦
6
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
7
0.85
求椭圆的焦点、焦距；点和椭圆的位置关系；求椭圆的长轴、短轴
8
0.65
充要条件的证明；函数极值点的辨析
9
0.65
证明线面垂直；空间位置关系的向量证明；棱柱的结构特征和分类；求点面距离
10
0.65
判断数列的增减性；确定数列中的最大（小）项；等差数列的简单应用；等比数列的简单应用
二、填空题
11
0.85
已知方程求双曲线的渐近线
12
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；坐标计算向量的模
13
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
14
0.65
利用函数单调性求最值或值域；根据函数的最值求参数
15
0.4
由方程研究曲线的性质
三、解答题
16
0.65
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；三角恒等变换的化简问题
17
0.65
面面角的向量求法；由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置；证明线面垂直；面面垂直证线面垂直
18
0.65
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；实际问题中的组合计数问题；求离散型随机变量的均值
19
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程
20
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数证明不等式；具体函数的定义域
21
0.15
数列新定义；根据数列的单调性求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,8
2
等式与不等式
1
3
计数原理与概率统计
2,18
4
复数
3
5
平面解析几何
4,5,7,11,15,19
6
数列
6,10,21
7
函数与导数
8,14,20
8
空间向量与立体几何
9,17
9
平面向量
12
10
三角函数与解三角形
13,16