2025届湖南省娄底市部分高中学校高三下信息押题卷(二)数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数满足，则（ ）
2. 已知集合，，若，则（ ）
3. 已知随机事件，，则（ ）
4. 已知向量，，若，则实数（ ）
5. 已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
6. 已知，则（ ）
7. 已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（ ）
8. 已知函数有两个零点，且，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的有（ ）
10. 下列说法正确的有（ ）
11. 已知对任意，且，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若的展开式中的系数为231，则______.
13. 已知数列的前项和为，，则______．
14. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内（包含边界）的动点，且，则动点的轨迹长度为______；当线段取最小值时，三棱锥的外接球的半径______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知锐角中，角所对的边分别为．
(1)求角；
(2)若为的平分线，且与交于点，求的面积．
16. 已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)当时，求的面积.
17. 已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
18. 如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，，且，，，.
(1)求的长；
(2)求多面体的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
19. 抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质．
(1)当，且数列具有性质时，
①写出一个满足，项数为6的数列；
②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．
(2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由．
（参考数据：）
2025届湖南省娄底市部分高中学校高三信息押题卷(二)数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、平面向量、数列、等式与不等式、三角函数与解三角形、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何、不等式选讲
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．或3
D．1
A．0.8
B．0.6
C．0.5
D．0．2
A．
B．或
C．或1
D．
A．
B．4
C．5
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．与无法比较大小
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
A．已知随机变量服从正态分布，且，则
B．数据2，3，5，8，9的第40百分位数是4
C．在回归分析中，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强
D．从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，设，则的方差
A．
B．
C．的图象关于直线对称
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
11
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数的除法运算
2
0.85
利用集合元素的互异性求参数；根据集合的包含关系求参数
3
0.85
利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率
4
0.65
平面向量线性运算的坐标表示；向量模的坐标表示；数量积的运算律
5
0.65
利用等差数列的性质计算；基本不等式求积的最大值；求等差数列前n项和
6
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的正弦公式化简、求值
7
0.65
抛物线定义的理解；抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值；由标准方程确定圆心和半径
8
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点
二、多选题
9
0.65
求csx型三角函数的单调性；求余弦（型）函数的最小正周期；求csx（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式
10
0.85
离散型随机变量的方差与标准差；正态曲线的性质；总体百分位数的估计
11
0.65
函数周期性的应用；函数对称性的应用；求函数值；抽象函数的奇偶性
三、填空题
12
0.65
由项的系数确定参数；求二项展开式的第k项
13
0.85
裂项相消法求和
14
0.65
多面体与球体内切外接问题；立体几何中的轨迹问题；空间位置关系的向量证明
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用
16
0.65
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；双曲线中的定值问题；根据双曲线过的点求标准方程；求直线与双曲线的交点坐标
17
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点；根据零点所在的区间求参数范围；放缩法
18
0.4
锥体体积的有关计算；证明面面平行；面面平行证明线线平行；面面角的向量求法
19
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；求等差数列前n项和；由导数求函数的最值（不含参）；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
计数原理与概率统计
3,10,12
4
平面向量
4
5
数列
5,13,19
6
等式与不等式
5
7
三角函数与解三角形
6,9,15
8
平面解析几何
7,14,16
9
函数与导数
8,11,17,19
10
空间向量与立体几何
14,18
11
不等式选讲
17