湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三下考前适应性模拟考试数学试题（3）（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，，则的元素个数为（ ）
2. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
3. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
4. 已知函数（a为常数），则（ ）
5. 若，则（ ）
6. 有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ）
7. 若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ）
8. 定义在上的函数满足，且当时，，则等于（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ）
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________.
13. 在中，，点满足，设，若，则__________.
14. “三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.
(1)求；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
16. 设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
17. 如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.
(1)求证：平面；
(2)若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.
①求点到平面的距离；
②求平面与平面所成夹角的正弦值.
18. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
19. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧！”DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手"，AI大模型正在改变着我们的工作和生活.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，.已知按此规则进行了多次挑战.
①前3次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“收敛数列”.经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，求证：数列为“收敛数列”.
附：，其中.
湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三考前适应性考试数学试题（3）
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、竞赛知识点、复数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、等式与不等式、平面解析几何、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．4
B．3
C．2
D．1
A．2
B．4
C．8
D．16
A．
B．
C．
D．
A．为奇函数
B．为偶函数
C．为增函数
D．为减函数
A．
B．
C．
D．
A．8
B．144
C．120
D．280
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．函数为奇函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
A．若，则直线的斜率为
B．
C．（为坐标原点）
D．当取最小值时，
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
8
较难
6
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式
2
0.94
等比数列下标和性质及应用
3
0.85
复数概念及基本运算；共轭复数的概念及计算
4
0.65
函数奇偶性的定义与判断；用导数判断或证明已知函数的单调性
5
0.85
用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
6
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题
7
0.65
辅助角公式
8
0.4
求函数值；比较函数值的大小关系
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式
10
0.65
基本不等式求和的最小值；与抛物线焦点弦有关的几何性质；抛物线定义的理解；直线与抛物线交点相关问题
11
0.4
锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；求线面角
三、填空题
12
0.65
求指定项的二项式系数；总体百分位数的估计
13
0.85
正弦定理解三角形
14
0.4
计算条件概率；利用全概率公式求概率
四、解答题
15
0.65
裂项相消法求和；分组（并项）法求和；数列新定义
16
0.65
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
17
0.4
面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；证明线面垂直
18
0.4
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；根据韦达定理求参数；根据a、b、c求双曲线的标准方程
19
0.4
独立性检验解决实际问题；数列新定义；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,4,8,16
3
数列
2,15,19
4
竞赛知识点
3
5
复数
3
6
三角函数与解三角形
5,7,9,13
7
计数原理与概率统计
6,12,14,19
8
等式与不等式
10
9
平面解析几何
10,18
10
空间向量与立体几何
11,17