湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三下学期5月模拟考试数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为，中位数为，第75分位数为，则（ ）
3. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ）
4. 若，则的值为（ ）
5. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
6. 在的展开式中，项的系数为（ ）
7. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
8. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 设z，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ）
10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
11. 已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若双曲线的离心率为2，则的值为___．
13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.
14. 在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
16. 已知函数.
(1)若，且与函数的图象相切，求的值；
(2)若对成立，求实数的取值范围.
17. 在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.
(1)请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
(2)若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.
18. 在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．

(1)求与的标准方程；
(2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）
(3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三下学期5月模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：函数与导数、集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、数列、三角函数与解三角形、平面向量、平面解析几何、复数、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．252
B．210
C．126
D．120
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于点成中心对称
D．关于点成中心对称
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．
C．若，则的最大值为2
D．若复数，则
A．
B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列
D．数列前100项和为
A．曲线与直线恰有三个公共点
B．曲线与直线相切
C．是关于的函数
D．是关于的函数
第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
5
6
7
8
第三行
9
10
11
12
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
7
较难
2
困难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求指数函数在区间内的值域；求对数型复合函数的定义域；交集的概念及运算
2
0.85
计算几个数的中位数；总体百分位数的估计
3
0.94
求等差数列前n项和的最值
4
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的余弦公式；正、余弦齐次式的计算
5
0.85
向量夹角的计算
6
0.65
求指定项的系数；组合数的性质及应用
7
0.65
判断或证明函数的对称性；指定区间的概率
8
0.15
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.65
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
10
0.65
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公式；由定义判定等比数列
11
0.15
零点存在性定理的应用；利用导数研究函数的零点；余弦函数图象的应用；由方程研究曲线的性质
三、填空题
12
0.85
根据离心率求双曲线的标准方程
13
0.85
计算条件概率
14
0.15
多面体与球体内切外接问题；二面角的概念及辨析
四、解答题
15
0.65
求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列
16
0.65
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（含参）
17
0.4
等差数列通项公式的基本量计算；裂项相消法求和；等比数列通项公式的基本量计算
18
0.65
证明线面垂直；线面角的向量求法
19
0.4
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的定值问题；椭圆中存在定点满足某条件问题
序号
知识点
对应题号
1
函数与导数
1,7,11,16
2
集合与常用逻辑用语
1
3
计数原理与概率统计
2,6,7,13,15
4
数列
3,10,17
5
三角函数与解三角形
4,11
6
平面向量
5
7
平面解析几何
8,11,12,19
8
复数
9
9
空间向量与立体几何
14,18