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2024-2025学年云南省红河州高二上学期开学检测数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年云南省红河州高二上学期开学检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为( )
A. 19B. 23C. 21D. 18
2.已知a=−2,5,b=2,1，则a,b夹角的余弦值等于( )
A. 145145B. 5145C. 325D. −325
3.已知m,n为两条不同直线，α,β为两个不同平面，且m⊥α,n//β，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m//n，则α⊥β
C. 若m⊥β，则n//αD. 若m//β，则n//α
4.若函数fx=ln1+ax−x是偶函数，则a=( )
A. e2B. eC. eD. e2
5.已知复数z=1+2i，则z−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为( )
A. (417,117)B. (417,−117)C. (−417,117)D. (−417,−117)
6.若集合M=xsinx=cs2x,N=xcsx=sin2x，则( )
A. M∩N=⌀B. M∩N=MC. M∪N=RD. M∪N=M
7.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么( )
A. 2 S0= S+ S′B. S0= S′S
C. 2S0=S+S′D. S02=2S′S
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为( )
A. 1+ 22
B. 4+2 22
C. 1+ 32
D. 4+ 32
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1,z2的共轭复数分别为z1,z2，则下列命题为真命题的有( )
A. z1+z2=z1+z2B. z1⋅z2=|z1|⋅|z2|
C. 若z1−z2>0，则z1>z2D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
10.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5(x1<0,x2,x3,x4,x5>0)的方差为s2，平均数x>0，则( )
A. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为9s2
B. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数大于0
C. 数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2
D. 数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x
11.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为216π
B. 当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7
C. 存在M，使得MN⊥AB
D. MNmin=3 302
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5:2:3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n= ．
13.在▵ABC中，AD是边BC上的高，若AB=1,3,BC=6,3，则AD= ．
14.maxx1,x2,x3表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则maxx,2y,4x2+1y2的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是98,103，样本数据分组为98,99,99,100,100,101,101,102,102,103.已知样本中钢球直径在100,101内的个数是20．
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在99,102的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．
16.(本小题12分)
设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+2−ai，z2=−1+3−2ai，z3=2−mia,m∈R.已知z1+z2是纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若Z1,Z2,Z3三点共线，求实数m 的 值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP,CD⊥DP，PA=2，点E,F分别为PB,PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离．
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=2 2c,sinA=csB−C．
(1)求B；
(2)若D是边BC上一点，且AD=CD= 10，求▵ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB(0参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.B
6.B
7.A
8.B
9.ABD
10.AD
11.BCD
12.200
13. 5
14.2
15.【小问1详解】
因为样本中钢球直径在100,101内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为n=200.4=50．
【小问2详解】
样本中这批产品的不合格产品件数为0.08+0.08×50=8，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为850×1000=160．
16.【小问1详解】
由题意可得z1+z2=a2−1+1−ai，
由于复数z1+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1；
【小问2详解】
由(1)可得z1=1+3i，z2=−1+5i，则点Z11,3，Z2−1,5，点Z32,−m
所以，Z1Z2=(−2,2),Z1Z3=(1,−m−3)
因Z1,Z2,Z3三点共线，所以Z1Z2//Z1Z3，所以(−2)×(−m−3)=1×2，
所以m=−2
17.【小问1详解】
由底面ABCD为正方形，得CB⊥AB，又CB⊥BP,AB∩BP=B,AB,BP⊂平面ABP，
于是CB⊥平面ABP，而PA⊂平面ABP，则CB⊥PA，同理CD⊥PA，
又CB∩CD=C,CB,CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD．
【小问2详解】
由(1)得PA⊥AB，点E为PB的中点，在Rt△PAB中，AE= 2，点F为PD的中点，同理AF= 2，
在▵PBD中，EF=12BD= 2，因此S△AEF=12× 2× 2× 32= 32，
在直角▵PAB中，S△APE=12×12×2×2=1，
由(1)知CB⊥平面ABP，则AD⊥平面ABP，于是点F到平面APE的距离为12AD=1
设点P到平面AEF的距离为ℎ，由VP−AEF=VF−AEP，得13× 32×ℎ=13×1×1，解得ℎ=2 33，
所以点P到平面AEF的距离为2 33．
18.解：(1)因为sinA=csB−C，则sinB+C=csB−C，
可得sinBcsC+csBsinC=csBcsC+sinBsinC，
则sinB−csBsinC−csC=0，
若sinB−csB=0，则tanB=1，且B∈0,π，所以B=π4；
若sinB−csB≠0，则csC=sinC，即tanC=1，
且C∈0,π，所以C=π4，
但a=2 2c，由正弦定理可得sinA=2 2sinC=2>1，不合题意；
综上所述：B=π4．
(2)因为AD=CD= 10，则BD=2 2c− 10，
在▵ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，
即10=c2+2 2c− 102−2c2 2c− 10× 22，
整理可得5c2−6 5c=0，解得c=6 55或c=0(舍去)，
则a=2 2c=12 105，所以▵ABC的面积S▵ABC=12acsinB=12×12 105×6 55× 22=365．
19.解：(1)OA⋅AB=|OA||AB|cs(π−∠OAB)=−|AB|cs∠OAB=csθ−1；
(2)当θ=60°时，OA⋅OB=12
①CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．
设∠BOC=α，由条件知，α∈[0,2π3]，
∴CA⋅CB=32−cs(π3+α)−csα=32−12csα+ 32sinα−csα
=32−32csα+ 32sinα=32− 3( 32csα−12sinα)=32− 3cs(α+π6)．
∵α∈[0,2π3]，∴cs(α+π6)∈[− 32, 32]，
∴CA⋅CB∈[0,3]；
②设AM=λAC(0<λ<1)，则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，
∴OC=tλOB−1−λλOA，
由OC=1可得，|tλOB−1−λλOA|=1，
即(tλ)2+(1−λλ)2−2×tλ×1−λλ×OA⋅OB=1，整理得λ=t2−t+12−t，
∴CMAM=1−λλ=1−t2t2−t+1，
∴S△COMS△BMA=OM·CMMB·AM=t1−t×1−t2t2−t+1=t2+tt2−t+1．
即f(t)=t2+tt2−t+1(0而f(t)=t2+tt2−t+1=1+2t−1t2−t+1．
令2t−1=a(−1当a=0时，g(0)=1；
当a≠0时，g(a)=1+4a+3a，利用单调性定义可证明函数y=a+3a在(−1,0)和(0,1)都是递减的，
设x1,x2∈0,1，且x1则x1y2，所以y=a+3a在(0,1)上单调递减，
由于y=a+3a是奇函数，则y=a+3a在(−1,0)和(0,1)单调递减，
因此，a+3a>4或a+3a<−4，
∴函数f(t)=t2+tt2−t+1(0
1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为( )
A. 19B. 23C. 21D. 18
2.已知a=−2,5,b=2,1，则a,b夹角的余弦值等于( )
A. 145145B. 5145C. 325D. −325
3.已知m,n为两条不同直线，α,β为两个不同平面，且m⊥α,n//β，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m//n，则α⊥β
C. 若m⊥β，则n//αD. 若m//β，则n//α
4.若函数fx=ln1+ax−x是偶函数，则a=( )
A. e2B. eC. eD. e2
5.已知复数z=1+2i，则z−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为( )
A. (417,117)B. (417,−117)C. (−417,117)D. (−417,−117)
6.若集合M=xsinx=cs2x,N=xcsx=sin2x，则( )
A. M∩N=⌀B. M∩N=MC. M∪N=RD. M∪N=M
7.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么( )
A. 2 S0= S+ S′B. S0= S′S
C. 2S0=S+S′D. S02=2S′S
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为( )
A. 1+ 22
B. 4+2 22
C. 1+ 32
D. 4+ 32
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1,z2的共轭复数分别为z1,z2，则下列命题为真命题的有( )
A. z1+z2=z1+z2B. z1⋅z2=|z1|⋅|z2|
C. 若z1−z2>0，则z1>z2D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
10.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5(x1<0,x2,x3,x4,x5>0)的方差为s2，平均数x>0，则( )
A. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为9s2
B. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数大于0
C. 数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2
D. 数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x
11.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为216π
B. 当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7
C. 存在M，使得MN⊥AB
D. MNmin=3 302
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5:2:3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n= ．
13.在▵ABC中，AD是边BC上的高，若AB=1,3,BC=6,3，则AD= ．
14.maxx1,x2,x3表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则maxx,2y,4x2+1y2的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是98,103，样本数据分组为98,99,99,100,100,101,101,102,102,103.已知样本中钢球直径在100,101内的个数是20．
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在99,102的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．
16.(本小题12分)
设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+2−ai，z2=−1+3−2ai，z3=2−mia,m∈R.已知z1+z2是纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若Z1,Z2,Z3三点共线，求实数m 的 值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP,CD⊥DP，PA=2，点E,F分别为PB,PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离．
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=2 2c,sinA=csB−C．
(1)求B；
(2)若D是边BC上一点，且AD=CD= 10，求▵ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB(0
1.C
2.A
3.B
4.A
5.B
6.B
7.A
8.B
9.ABD
10.AD
11.BCD
12.200
13. 5
14.2
15.【小问1详解】
因为样本中钢球直径在100,101内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为n=200.4=50．
【小问2详解】
样本中这批产品的不合格产品件数为0.08+0.08×50=8，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为850×1000=160．
16.【小问1详解】
由题意可得z1+z2=a2−1+1−ai，
由于复数z1+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1；
【小问2详解】
由(1)可得z1=1+3i，z2=−1+5i，则点Z11,3，Z2−1,5，点Z32,−m
所以，Z1Z2=(−2,2),Z1Z3=(1,−m−3)
因Z1,Z2,Z3三点共线，所以Z1Z2//Z1Z3，所以(−2)×(−m−3)=1×2，
所以m=−2
17.【小问1详解】
由底面ABCD为正方形，得CB⊥AB，又CB⊥BP,AB∩BP=B,AB,BP⊂平面ABP，
于是CB⊥平面ABP，而PA⊂平面ABP，则CB⊥PA，同理CD⊥PA，
又CB∩CD=C,CB,CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD．
【小问2详解】
由(1)得PA⊥AB，点E为PB的中点，在Rt△PAB中，AE= 2，点F为PD的中点，同理AF= 2，
在▵PBD中，EF=12BD= 2，因此S△AEF=12× 2× 2× 32= 32，
在直角▵PAB中，S△APE=12×12×2×2=1，
由(1)知CB⊥平面ABP，则AD⊥平面ABP，于是点F到平面APE的距离为12AD=1
设点P到平面AEF的距离为ℎ，由VP−AEF=VF−AEP，得13× 32×ℎ=13×1×1，解得ℎ=2 33，
所以点P到平面AEF的距离为2 33．
18.解：(1)因为sinA=csB−C，则sinB+C=csB−C，
可得sinBcsC+csBsinC=csBcsC+sinBsinC，
则sinB−csBsinC−csC=0，
若sinB−csB=0，则tanB=1，且B∈0,π，所以B=π4；
若sinB−csB≠0，则csC=sinC，即tanC=1，
且C∈0,π，所以C=π4，
但a=2 2c，由正弦定理可得sinA=2 2sinC=2>1，不合题意；
综上所述：B=π4．
(2)因为AD=CD= 10，则BD=2 2c− 10，
在▵ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，
即10=c2+2 2c− 102−2c2 2c− 10× 22，
整理可得5c2−6 5c=0，解得c=6 55或c=0(舍去)，
则a=2 2c=12 105，所以▵ABC的面积S▵ABC=12acsinB=12×12 105×6 55× 22=365．
19.解：(1)OA⋅AB=|OA||AB|cs(π−∠OAB)=−|AB|cs∠OAB=csθ−1；
(2)当θ=60°时，OA⋅OB=12
①CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．
设∠BOC=α，由条件知，α∈[0,2π3]，
∴CA⋅CB=32−cs(π3+α)−csα=32−12csα+ 32sinα−csα
=32−32csα+ 32sinα=32− 3( 32csα−12sinα)=32− 3cs(α+π6)．
∵α∈[0,2π3]，∴cs(α+π6)∈[− 32, 32]，
∴CA⋅CB∈[0,3]；
②设AM=λAC(0<λ<1)，则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，
∴OC=tλOB−1−λλOA，
由OC=1可得，|tλOB−1−λλOA|=1，
即(tλ)2+(1−λλ)2−2×tλ×1−λλ×OA⋅OB=1，整理得λ=t2−t+12−t，
∴CMAM=1−λλ=1−t2t2−t+1，
∴S△COMS△BMA=OM·CMMB·AM=t1−t×1−t2t2−t+1=t2+tt2−t+1．
即f(t)=t2+tt2−t+1(0
令2t−1=a(−1
当a≠0时，g(a)=1+4a+3a，利用单调性定义可证明函数y=a+3a在(−1,0)和(0,1)都是递减的，
设x1,x2∈0,1，且x1
由于y=a+3a是奇函数，则y=a+3a在(−1,0)和(0,1)单调递减，
因此，a+3a>4或a+3a<−4，
∴函数f(t)=t2+tt2−t+1(0
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