天津市五区县重点校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份天津市五区县重点校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是.
故选：A.
2. 若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】由于直线l的一个方向向量为，
故直线的斜率为，
故倾斜角为150°，
故选：D.
3. 已知数列的前项和，则等于（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 21
【答案】B
【解析】因为数列的前项和，
所以.
故选：B.
4. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将直线的方程变形为
令，解得，.
所以直线恒过定点，即圆心坐标为.
已知半径，所以圆的标准方程.
展开可得，即.
故选：D.
5. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，
所以或 ，
即 或 ，又 ，
所以，
故选：D.
6. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A. 3B. ±3C. 9D. ±9
【答案】C
【解析】根据行列式的定义，对于，可得，即.
因为数列是等比数列，根据等比数列的性质：所以.
由，可得，则.
又因为，等比数列奇数项符号相同，所以.
故选：C.
7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，
故，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
所以
，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
而，
故的最小值为，
故选：B.
8. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为.
故选：A.
9. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ）
A. 27B. 28C. 29D. 30
【答案】C
【解析】当时，，
由数列为“速增数列”，则，
又，则、、、，
则，
即，当时，，
当时，，故正整数的最大值为.
故选：C.
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10. 两条直线：与：之间的距离为_______.
【答案】
【解析】直线：即，又直线：，
所两直线间的距离.
11. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______.
【答案】
【解析】：的圆心和半径分别为，，
：圆心和半径分别为，，
由于两圆外切，故，解得，
故直线的距离为，
故弦长为.
12. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
故和BN的夹角的余弦值为.
13. 已知数列满足，，，则_______.
【答案】
【解析】由知数列为等差数列，且，公差，
则，
于是，
则
.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支相交于、两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】如下图所示：
不妨设，则，，则，
所以，，
设，则，
由双曲线的定义可得，
即，解得，所以，，可得，
所以，，，
由勾股定理可得，即，可得，
所以，，故该双曲线的离心率为.
15. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______.
【答案】3
【解析】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．
设，，，则，
所以，所以．
作轴于点，则．
因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，
故，
所以，，
所以四边形的面积为，
解得，
故答案为：3.
三、解答题
16. 设数列是首项为，公比不为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）求的前项和，的前项和.
解：是首项为的等比数列，
设其公比为，因为，，成等差数列，
所以，即，
即，解得或（舍），
故，所以.
（2）由（1）可得，
，①
则，②
①-②得：，
，
所以.
17. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角余弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：在直三棱柱中，连接交于F点，连接，
由侧面是平行四边形，得是的中点，又是中点，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）解：依题意，底面，，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
而是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，，
所以点到平面的距离.
18. 已知椭圆：的离心率，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值.
解：（1）因为椭圆的离心率，且在上
所以，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立，
消去，得，
所以，因为，所以直线的方程可设为，
联立，消去，得，
所以点的横坐标为，
由，得
.
当且仅当，即时，等号成立，
由此，当时，有最小值，且最小值.
19. 已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
（1）求椭圆方程；
（2）直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值.
解：（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）联立，得，
由，得，
设，，则，，
所以点的横坐标，纵坐标为，
所以直线的方程为，
令，则点的纵坐标，则，
因，所以点、点在原点两侧，
因为，所以，
法一：由上可得，
因为，
，
所以，解得，所以.
法二：因,故有，即，
因为，，所以，
解得，所以.
20. 已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前项和为；
（3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和.
解：（1）依题意，，，即，解得.
所以等差数列的通项公式，
所以，，
又因为，所以数列为等比数列，
所以，解得或（舍去），
所以；
（2）由已知，即，
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时，，
所以，
，
当为偶数时，，
所以.
；
（3）：，
从到共有项，
所以，当时，，
，
，
，
.