天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即.
故选：.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点关于轴对称点的坐标为.
故选：C．
3. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）.
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】若表示椭圆，
则，解得或.
故选：.
4. 若直线与平行，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 2或3
【答案】D
【解析】因为直线与平行，
所以，解得或，
当时直线与平行，符合题意；
当时直线与平行，符合题意；
所以或.
故选：D.
5. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
6. 已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】易知直线，过定点，
圆的标准方程是，圆心为，半径为，
而，所以．
故选：B．
7. 在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接交于点O，
由题意，得，，
，
如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，设，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取，
则，
设顶点B到平面距离为d，
则，
当时，
当时，，
所以当即时点B到平面距离最大为.
故选：A.
8. 已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直；
易知直线经过定点，直线经过定点，
所以点A在以为直径的圆上，
中点为，所以，
所以圆，
所以,
所以，
故选：A.
9. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故选：B.
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10. 已知.则__________．
【答案】
【解析】因为，且，
所以，解得，
则，故，
所以.
11. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____
【答案】或
【解析】当截距为0时，设，
将代入直线方程，，解得，
故直线的方程为，
当截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，，解得，故直线的方程为，
故直线的方程为或.
12. 若直线与圆相交于两点，且（坐标原点），则__________.
【答案】
【解析】由题意可知圆心到直线的距离，
即，解得，所以.
13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.
【答案】4
【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，
由椭圆，得，，
是的中点，是的中点，
为的中位线，
，
由椭圆的定义得．
14. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】由得点在圆上，
所以点在圆上，又在圆上，
所以两圆有交点，
因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，即，解得，
所以的最小值为.
15. 已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图，设，，延长交于，
由题意知，为的中点，故为中点，
又，即，则，
又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，因此可得，
又在中，，则，
将， 代入得，
即，由所以，
所以，.
三、解答题（本题共75分）
16. 直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
解：（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
17. 如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：由平面，底面为正方形，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，即，
令，则，，故，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
18. 已知椭圆：经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.
解：（1）由题意可得：，又离心率为，所以，
可得，那么，代入可得：，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，
设，，联立可得：
，其判别式
，可知
由韦达定理可得：，，
那么
，
所以的面积
当且仅当时取得等号，所以△的面积的最大值.
19. 如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
（1）证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
则，
所以，
又平面，
所以平面；
（2）解：由（1）得，
即为平面的一个法向量，
，
设平面的法向量为，
则有，令，
则，所以，
则，
所以二面角的正弦值为；
（3）解：设，
则，
因为轴垂直平面，
则可取平面的法向量为，
则，
解得（舍去），
所以.

20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点.
（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
（ii）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.
解：（1）∵当面积的最大值时，点为椭圆短轴顶点，
∴由题意得，即，
又椭圆的离心率为，且，
∴解得，
∴椭圆的方程为.
（2）依题意可设，且，
（i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
所以，即，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
则，，
所以，即为定值.
（ii）设弦的中点的坐标为,
设点的坐标为，的重心的坐标为，
由，得，
所以，且，
则，
因为的重心在轴上，所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量相等，所以且，
所以直线的方程为，
因为在直线上，
所以，
所以点，
又点在椭圆上，所以，
即，又因为，所以，
所以直线的方程.