河南省郑州市中牟县2024-2025学年高一上学期期末测评数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市中牟县2024-2025学年高一上学期期末测评数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故.
故选：B.
2. 已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】因为，故，
设，故，故，故.
故选：D.
3. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】原式
.
故选：A.
4. 要得到函数的图象，需（ ）
A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B. 将函数图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】A.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，故A错误；
B.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，故B错误；
C.将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；
D.将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：D.
5. 设x∈R，不等式恒成立的一个充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若，则恒成立，
若，则，故，
故，所以不等式恒成立的充要条件为，
若求充分条件，则充分条件对应的集合真包含于，
对比各选择，只有A符合.
故选：A.
6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，
因为，
所以，即.
故选：C.
7. 声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设题设中左图对应的解析式为，则，
而，其中，故，故，
故，其最小正周期为.
右图对应的解析式为，
则且，故，故，其最小正周期为，
而的最小正周期为，
故该和弦的一个最小正周期为，故周期为.
故选：C.
8. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得或，
当时，，
当时，令，解得，
故有两个不同的解且异于，
而在0,+∞上为减函数，且，
故在0,+∞上至多有一个实数根，
若在0,+∞上有一个实数根，则，
即，考虑此时解的个数，
此方程可化为，
因为，故只有一个实数解，
若该解与相同，则即，与矛盾，
故符合题设要求；
若在0,+∞上无实数根，则或，
即或，考虑解的个数，
若，则，有一个实数根，
故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾；
若，则，故，
当且仅当，时等号成立，
故此时至多有一个实数根，
故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾；
综上，.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，，故，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ）
A. 在末，点的坐标为
B. 在末，点在单位圆上第一次重合
C. 在末，扇形的弧长为
D. 面积的最大值为
【答案】BD
【解析】由题设，秒末的坐标为，
的坐标为，
对于A，在末，的坐标为，故A错误；
对于B，若重合，则，故，
故，故末，点在单位圆上第一次重合，故B正确；
对于C，在末，在的终边上，在的终边上，
故扇形的弧长为，故C错误；
对于D，的面积为，
当且仅当即时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 已知是上不恒为零的函数，且都有，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在上单调递减
【答案】BCD
【解析】因为，
令，得，所以，故A错误；
令，得，
所以，令，得，
又，所以，
又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确；
令，得，
又，所以，故C正确；
当时，由，
可得，又，
，上任取，不妨设，
，
，故，
故在单调递减，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
13. 在中，已知，则角__________.
【答案】
【解析】由，得，
即，
又，所以，则.
14. 设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________.
【答案】
【解析】设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，故，
解得，所以点的纵坐标为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
解：（1）.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以，
又因为，所以，
则，.
16. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值；
（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
解：（1）令，故或，故的不动点为和.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
17. 已知，函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明.
解：（1），
函数的定义域即为的解集，而奇函数的定义域关于原点对称，
故的根为，故.
当时，，定义域为，
定义域关于原点对称，而，
故为奇函数，故.
（2）函数为上的减函数，
设，则，
，
因为，故，
故，故，
故，即，即函数为上的减函数.
18. 已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若，，求的值；
（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数.
解：（1）因为，
当时，，
由可得，由可得，
所以，函数在上的单调递增区间为，.
（2）因为，可得，
因为，则，
所以，
因此
.
（3）当时，，
在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象如下图所示：
由图可知，曲线和在上的交点个数为.
19. 已知函数.
（1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求不等式的解集；
（3）当时，求的最大值.
解：（1）由，
可得.
（2）因为，所以fx为奇函数，
所以不等式为，
又因为是单调增函数，所以，所以，
所以不等式的解集为.
（3）令，知在上单调递增，所以，
又因为，则，，开口向下，对称轴为，
当时，是单调增区间，所以时取最大值；
当时，是单调减区间，所以时取最大值；
当时，是单调增区间，是单调减区间，
所以时取最大值；
.