2024~2025学年江苏省连云港市高三上册9月月考数学学情试卷（含答案）

这是一份2024~2025学年江苏省连云港市高三上册9月月考数学学情试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设集合，，若，则（ ）．
A. 2B. 1C. D.
3. 已知a,b∈R,则“2−ab2“的（ ）
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知函数f（x）＝ln（ax+2）在区间（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．﹣1≤a＜0C．﹣1＜a＜0D．a≥﹣1
5．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为32，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π4 B．32π C．3π2 D．3π
6. 若为偶函数，则（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知函数f2x+1为奇函数，fx+2为偶函数，且当时，，则f2324=（ ）
D.- B. -2 C. 1 D.-1
8. 已知函数为偶函数，满足，且时，,若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. B. C. D.
10.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则 （ ）
A．B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
11．若实数x,y满足x2+y2=4+xy，则（ ）
A．x+y≥−4 B．x+y≤2 C．x2+y2≤8 D．x2+y2≥4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．________.
13. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
14．已知：函数f(x)是定义在R上的可导函数，当x≥0时，f ′(x)>f ′(－x)，若g(x)＝f(x)＋f(－x)，且对任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1），不等式g(ax＋1)≤g(x－2)恒成立，则实数a的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题13分）设a＞0，函数f（x）＝ax3﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；
（2）x1，x2是函数f（x）的两个极值点，证明：f（x1）+f（x2）为定值．
16.（本题15分） 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：
（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
17.（本题15分） 如图，三棱锥中，，，，为的中点．

（1）证明：；
（2）点满足，求二面角的正弦值．
18．（本题17分）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
（1）求椭圆方程．
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在请说明理由．
19.（本题17分） 已知函数．
（1）若，求的极小值．
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：有且只有个零点．
数学答案
1. A. 2. B 3. D 4. B 5．C 6. B 7. A 8. C
9. ABC 10. ABD 11．AC
12．12 13. . 14．－2≤a≤0
15.解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3﹣2x+1，则导数f'（x）＝3x2﹣2．
设切点为，则，
所以切线方程为．………………….3分
又切线过点（0，﹣1），则，
整理得，解得x0＝1．
所以过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为y＝x﹣1．………………….6分
（2）证明：依题意，f'（x）＝3ax2﹣2（a＞0），令f'（x）＝0，得，
………………….………………….9分
不妨设x1＜x2，则，，
所以，……………….….12分
所以f（x1）+f（x2）为定值．…………………13分
16. 解：（1），
，………………………….2分
又回归直线过样本中心点，
所以，得，
所以，…………………………..5分
当时，，
所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台. ………………………..7分
（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
所以，…………………………..9分
，
，
，
，………………….13分
所以的分布列为：
.…………………………15分
17. 解：（1）连接，因为为中点，，所以①，
因为，，所以△ACD与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．……………………6分
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
…………………………9分
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；……………….11分
，取，所以，…………………13分
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．………………15分
18． 解：（1）因为离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，，
故，所以，，故椭圆方程为．………………4分
（2）设，，．
当过点的动直线的斜率存在时，可设该直线方程为，
由可得，
故，，………………….7分
而，
故
………………………………9分

，………………………………12分
因为恒成立，故解得．………………………14分
当过点的动直线的斜率不存在时，则或，
，此时需，两者结合得．……………………16分
综上，存在点满足条件，点的纵坐标的取值范围是．………………17分
19. 解：（1）当时，的定义域为，
，
在区间递减；
在区间递增．
所以当时，取得极小值．………………………………3分
(2)的定义域为，
．………………………………5分
令，
当时，恒成立，所以即在上递增．……………………7分
当时，在区间即递减；
在区间即递增．…………………9分
(3)当时，，
由（2）知，在上递增，，
所以存在使得，即．…………………11分
在区间，递减；在区间递增．
所以当时，取得极小值也即最小值为………………………………13分
，
由于，所以．………………………….15分
，
，
根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，
所以有个零点．……………………………………17分
月份
1
2
3
4
5
6
销量
12
21
33
41
52
63
x
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
1
2
3