广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题(含答案及解析)

这是一份广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题(含答案及解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知z的模是，则（ ）
3. 甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损．
则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是（ ）
4. 已知函数图象的对称轴方程为，则（ ）
5. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
6. 已知，直线l：，椭圆C：的离心率，过C的右焦点且与x轴垂直的直线与l交于点P，若（k表示斜率，O为坐标原点），则实数m的取值范围为（ ）
7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
8. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
10. 函数相邻两个最高点之间的距离为为的对称中心，将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则（ ）
11. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，）
13. 已知曲线C，直线,点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为______．
14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
16. 2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
17. 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最长60秒的高清视频．Sra一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Pythn编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Pythn编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Pythn编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Pythn编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
18. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、函数与导数、平面解析几何、平面向量、等式与不等式、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲
95
87
88
92
93
85
乙
85
86
86
99
9
88
A．
B．
C．
D．
A．1
B．－1
C．
D．
A．11分钟
B．13分钟
C．15分钟
D．17分钟
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．4
D．
A．
B．
C．
D．
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的中位数为0.1%
C．环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的下四分位数为1.55%
A．在上存在极值点
B．方程所有根的和为
C．若为偶函数，则正数的最小值为
D．若在上无零点，则正数的取值范围为
A．
B．四面体的体积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
8
较难
6
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算
2
0.85
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.85
计算古典概型问题的概率；计算几个数的平均数
4
0.65
利用正弦函数的对称性求参数；特殊角的三角函数值；辅助角公式
5
0.65
指数函数模型的应用（2）
6
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
7
0.4
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；平面向量线性运算的坐标表示；利用平面向量基本定理求参数
8
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；作差法比较代数式的大小
二、多选题
9
0.85
计算几个数的中位数；总体百分位数的估计；根据折线统计图解决实际问题；计算几个数据的极差、方差、标准差
10
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；求图象变化前（后）的解析式；函数极值点的辨析
11
0.4
多面体与球体内切外接问题；立体几何中的轨迹问题；锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直
三、填空题
12
0.85
台体体积的有关计算
13
0.65
利用抛物线定义求动点轨迹；抛物线中存在定点满足某条件问题；根据解析式直接判断函数的单调性；直线与抛物线交点相关问题
14
0.4
函数奇偶性的应用；基本不等式“1”的妙用求最值；求对数函数在区间上的值域
四、解答题
15
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和
16
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；证明面面垂直
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；利用对立事件的概率公式求概率
18
0.4
求平面轨迹方程；双曲线中的直线过定点问题；双曲线向量共线比例问题；根据韦达定理求参数
19
0.4
利用导数证明不等式；根据极值点求参数；由导数求函数的最值（不含参）
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,9,17
4
三角函数与解三角形
4,7,10
5
函数与导数
5,8,10,13,14,19
6
平面解析几何
6,11,13,18
7
平面向量
7
8
等式与不等式
8,14
9
空间向量与立体几何
11,12,16
10
数列
15