辽宁省辽西重点高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省辽西重点高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共19页。
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为集合，所以由，可得，
所以.
故选：C.
2. 若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】命题q：直线与抛物线无公共点，把代入即无解，，又命题p：，所以q是p的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 无最小值
【答案】C
【详解】若，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．
故选：C．
4. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为有平面，所以为与圆锥底面所成角，即
又因为是底面圆的直径，所以，
又是的中点，所以，
由已知，
可得，所以.
又平面平面，所以.
由，解得，
所以圆锥的体积，
故选：D.
5. 已知不是直角三角形，三内角的对边依次为，且满足，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 不是定值
【答案】A
【详解】由余弦定理以及可得：
，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故选：A．
6. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
故选：A
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【详解】，所以，
故选：A
8. 对于任意，，且，则（ ）
A B. 1C. 2025D. 4049
【答案】D
【详解】由，当时，可得，
赋值可得：，
利用累加法可得：，
代入可得：，
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线的斜率为
C. D.
【答案】ACD
【详解】对于选项A，因，解得，所以选项A对，
因为，即，则，
所以抛物线在点处的切线方程为，
直线的斜率为，所以选项B错；
由，消得到，
则，得到，所以选项C正确；
对于选项D，因为，
得到，所以当时，，
又，所以，则，故选项D正确．
故选：ACD
10. 经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 曲线经过的整数点个数为3个
C. 的取值范围均为
D. 若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
【答案】CD
【详解】对于A，将，代入方程，可得，故A错误；
对于B，由A可知曲线，当时，，解得；
当时，，解得或0或1；同理可得当时，或0或1；
当，，时，，即，
由，则方程无解，
综上可得曲线经过的整数点有，，，，，，
，，共个，故B错误；
对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程，
则，解得，
同理可得，故C正确；
对于D，，当且仅当时，等号成立，
由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确.
故选：CD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中的系数为
B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
C. 将两个具有相关关系的变量、的一组数据、、、调整为、、、，决定系数不变（附：，，）
D. 已知、为随机事件，且，，则若，则
【答案】ACD
【详解】对于A选项，的展开式通项为，
因为，
的展开式通项为，令，
的展开式通项为，令，可得，
因此，展开式中的系数为，A对；
对于B选项，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，
但回归直线不一定过样本点，B错；
对于C选项，设原数据对应的回归直线方程为，
则新数据对应的回归直线方程为，新数据的样本中心点为，
新数据的决定系数为，C对；
对于D选项，，，若，
则，即，
所以，D对．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是函数，的两个零点，则________．
【答案】
【详解】根据和差化积公式得，
则令，
当时，因为，则，此时无解，
当 ，因为，则，
则或，解得或，
则.
故答案为：.
13. 甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____.
【答案】4
【详解】当时，的可能取值为2，3，4，
则，
，所以；
当时，的可能取值为0，1，2，
则，
，所以；
则，
故答案为：4
14. 如图所示，在长方体中，，以为棱作半平面分别和棱相交于点，二面角的平面角为.在三棱柱和四棱柱中分别放入半径为的球，在的变化过程中，的最大值为_____.
【答案】
【详解】如图所示，这两个球在长方体左侧面上的投影分别为球的两个大圆，且都与直线相切，
设，由，得，同理，得，
由已知可得.令，则，
记，则，由得.
当时单调递增，当时单调递减，
所以，
经检验，当时，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 设函数，其中．
（1）当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）记函数在上的最大值为．
（i）求关于的表达式；
（ⅱ）证明：当时，在上恒成立．
【答案】（1），
（2）（i）；（ⅱ）证明见解析
【小问1详解】
当时，
可得：
的单调递增区间为
【小问2详解】
（i）令，则可得．
令
当时，，故．
当时，，对称轴
①当时，
②当时，，故在上单调递减
③当时，，故在上单调递减
④当时，，故在上单调递减，在上单调递增．

综上，
（ⅱ）
当时，
而
．
16. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，，
可得，解得：（负的舍去），
则，
【小问2详解】
∴
.
17. 如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， ，且 底面 ，点 分别在棱 上.
（1）若 是 的中点，证明: ；
（2）若 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，
，∴，
∴，即．
【小问2详解】
因为，，，
，则，故，
设，其中，，
由于平面 的法向量为，
故，故，
因此,
则，,
设平面的一个法向量为，
故，取，则，
由于平面的一个法向量为
故,
结合图形可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
18. 已知椭圆经过点．
（1）求的离心率．
（2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②证明见解析
【小问1详解】
因为椭圆C经过点，所以，故，
所以C的离心率；
【小问2详解】
①由（1）知C的方程为，，.
由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为．
由，可得，
所以，即，
且，．所以
则
，
解得，则的方程为，
即直线过x轴上的定点.
②由①可知，，又，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，

.
19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令.
（1）当时，求的近似解，；
（2）在（1）的条件下，求数列的前n项和；
（3）当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：.
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【小问1详解】
由题意可得在处切线方程为，令，得，
同理可得在处的切线方程为，令，得，
所以对于函数，，
故，；
【小问2详解】
由（1）可知存在递推关系，
构造等比数列，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以数列的前项和；
【小问3详解】
由题意可得，则，
令，得，当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以，
又当时，；当时，，且，
所以当时，有两个不同实数根，
又，所以确实有两个不同实数根，，
且，，
先证明右半部分：，
考虑在处的切线方程：
当时，，因为，所以与切线的交点的横坐标大于，
即，又，故；
再证明左半部分：，
观察不等式的结构，联想到一元二次方程的两根之差，
即构造方程来描述不等式的左边，
故尝试将放缩为二次函数，即将放缩成，
故令，
则，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当时，，
故当时，方程有两个不同的实数根，记为，且，
，又，故，所以，
因为，所以得到，
同理可得，所以，
综上所述，.