2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题（含答案及解析）

这是一份2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题（含答案及解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分)
1. 已知集合，则（ ）．
2. 已知命题，则是（ ）．
3. 是虚数单位，
4. 函数的最小正周期是（ ）．
5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）.
6. 不等式的解集为（ ）
7. 在中，角的对边分别是，若，则=（ ）
8. 如图，正六边形中，（ ）．
9. 将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（ ）.
10. 设，，，则的大小关系是（ ）．
11. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）．
12. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ）.
13. 已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（ ）．
14. 已知，则“”是“”的（ ）．
15. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）．
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
16. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人.
17. 在中，已知，则BC的长为__________．
18. 已知，则的最大值为_____．
19. 已知函数，则_____
20. 若函数有一个零点，则实数的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分)
21. 已知．
(1)求和的值：
(2)求的值．
22. 已知平面向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求．
23. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面.
24. 已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，且的最小值为0，求实数的值．
2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题
整体难度：较易
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、三角函数与解三角形、函数与导数、等式与不等式、平面向量、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
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A．
B．
C．或
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
题型
数量
单选题
15
填空题
5
解答题
4
难度
题数
容易
4
较易
13
适中
7
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.94
全称命题的否定及其真假判断
3
0.85
复数的除法运算
4
0.94
求正弦（型）函数的最小正周期
5
0.85
函数奇偶性的定义与判断；判断指数函数的单调性；判断一般幂函数的单调性；根据解析式直接判断函数的单调性
6
0.85
解不含参数的一元二次不等式
7
0.94
正弦定理边角互化的应用
8
0.85
向量加法的法则；向量加法法则的几何应用
9
0.85
求图象变化前（后）的解析式；诱导公式二、三、四；诱导公式五、六
10
0.65
比较指数幂的大小；比较对数式的大小；对数函数单调性的应用
11
0.65
线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；判断线面是否垂直；证明面面垂直
12
0.85
分步乘法计数原理及简单应用；计算古典概型问题的概率
13
0.65
球的表面积的有关计算；圆柱表面积的有关计算；柱体体积的有关计算
14
0.85
判断命题的必要不充分条件；研究对数函数的单调性
15
0.85
求异面直线所成的角
二、填空题
16
0.85
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
17
0.85
余弦定理解三角形
18
0.85
基本不等式求积的最大值
19
0.85
求分段函数值
20
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；画出具体函数图象
三、解答题
21
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
22
0.85
由向量共线（平行）求参数；利用向量垂直求参数；坐标计算向量的模
23
0.65
证明线面平行；证明面面垂直
24
0.65
根据二次函数的最值或值域求参数；由幂函数的单调性求参数；求幂函数的解析式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2,14
2
复数
3
3
三角函数与解三角形
4,7,9,17,21
4
函数与导数
5,10,14,19,20,24
5
等式与不等式
6,18
6
平面向量
8,22
7
空间向量与立体几何
11,13,15,23
8
计数原理与概率统计
12,16