黑龙江省哈尔滨市2024_2025学年高二数学下学期4月学业阶段性评价考试试卷含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2024_2025学年高二数学下学期4月学业阶段性评价考试试卷含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 满分：150 分共 2 页）
第 I 卷（共 58 分）
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 若一数列为 1， ， ， ，⋯，则 是这个数列的（ ）
A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 15 项
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列指数的特点求出通项公式，即可得到结果.
【详解】数列的指数分别是 0，7，14，21，…，
则指数部分构成首项为 ，公差为 的等差数列 ，
则对应指数的通项公式为 ，
由 ，
所以 是这个数列的第 15 项.
故选：D
2. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，
乙两个水库的蓄水量 与时间 的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（ ）
A. 在 这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于 0
B. 在 这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C. 甲水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率
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D. 乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率
【答案】D
【解析】
【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.
【详解】对 A：由图可知，在 这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于 ，
乙水库的蓄水量的平均变化率大于 ，故 A 错误；
对 B：由图可知，在 这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于 ，乙水库的蓄水量的平均变化率
大于 ，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故 B 错误；
对 C：由图可知，甲水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率小于 ，
乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率大于 ，
故甲水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率，故 C 错误；
对 D：由图可知，乙水库在 时刻蓄水量上升比在 时刻蓄水量上升快，
故乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在 时刻蓄水量的瞬时变化率，故 D 正确.
故选：D.
3. 已知数列 满足：对任意的 ，都有 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意的 ，有 ，且 ，求得 的值，即可得 的值.
【详解】对任意的 ，都有 ，且 ，所以 ，
则 ，所以 .
故选：B.
4. 函数 的单调递减区间是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导后令 可得.
【详解】由题意可得 ，
令 ，
所以当 时， ，函数 为递减函数，
所以函数 的单调递减区间是 .
故选：C
5. 一个等比数列共有 项，若前 项之和为 15，后 项之和为 60，则这个等比数列的所有项的和为
（ ）
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列前 n 项和的等片段和性质可求解.
【详解】由题意知 ， ，
又 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
6. 等差数列的前 项和为 ，若 ， ，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A. 第 5 项 B. 第 6 项 C. 第 7 项 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合等差数列的性质可得 ，且 ，从而可求得答案
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【详解】因为 ， ，
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，所以该数列的公差 ，
所以绝对值最小的项在 0 附近的项中取得，
因为 ，所以 ，
所以绝对值最小的项为 ，
故选：C
7. 数列 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】递推公式两侧同时乘以 ，化简递推公式，得 ，运用累加法及裂项
相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解.
【详解】因为 ， ，
，
所以有 ， ， ， ，
.
累加得 ，又 ，
所以 ，即 .
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当 时， 符合上式，所以 .
则 .
故选：B.
8. 已知 是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意构造函数 ，利用导数求出其单调区间，然后逐个分析判断即可.
【详解】令 （ ），则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
对于 A，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 A 错误，
对于 B，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 B 正确，
对于 C，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 C 错误，
对于 D，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 D 错误，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查比较大小，解题的关
键是构造函数，利用导数求出函数的单调区间，然后利用函数的单调性比较大小，属于中档题.
二、多选题（共 3 小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得 6 分，部分选对的得部
分分，有选错的得 0 分）
9. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导原则求解即可.
【详解】 ，A 正确；
，B 错误；
，C 正确；
，D 正确.
故选：ACD
10. 已知函数 ，则下列描述正确的是（ ）
A. 直线 是 的一条切线
B. 在 上单调递增
C. 在 上的最小值为
D. 关于 的不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A 选项，根据导数的几何意义验证即可判断；对于 B 选项，由题意可得 ，根
据导函数的正负即可判断；对于 C 选项，通过判断函数 在 上的单调性，即可求解；对于 D 选
项，根据函数 的单调性，得 ，解不等式即可.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
假设直线 是 的一条切线，设切点为 ，
则 ，解得 ，此时 ，即切点为 ，
经验证，点 也在直线 上，
所以直线 是 的一条切线，故 A 正确；
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对于 B，因为 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 B 错误；
对于 C，由 B 可知当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 或 时，函数 取得最小值，
又 ， ，
所以当 时，函数 取得最小值为 ，故 C 正确；
对于 D，因为 在 上单调递增，又 ， ，
所以 ，解得 或 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 若正整数 ， 的公约数只有 1，则称 ， 互质.对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与
互质的数的个数.函数 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为素数时，
C. 数列 是等比数列 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，求得 ， ， 可判定 A；由素数 的因数只有 和 ，得到 1
到 所有的数均与 互质可判定 B；由 是质数结合欧拉函数的定义得到 可判定 C；根据
欧拉函数的定义找到小于或等于 内与 互素的个数可判定 D.
【详解】对于 A，小于或等于 且与 互素的数有 ，所以 ，
又由 ， ，所以 ，故 A 正确；
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对于 B，素数 的因数只有 和 ，所以 1 到 的所有的数均与 互质，
所以 为素数时， ，所以 B 正确；
对于 C，因为 是质数，所以在不超过 的整数中，所有的偶数的个数为 ，
根据欧拉函数的定义可得 ，
则 ，又由 ，所以数列 是等比数列，所以 C 正确；
对于 D，因为 是偶数，小于 的正奇数有 个，其中是 的倍数的奇数有 个，它们与 不互素，
所以 ，所以 D 不正确.
故选：ABC.
第 II 卷（共 92 分）
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分）
12. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 ，则 S5=____________．
【答案】 .
【解析】
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题
目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部
分考生易出现运算错误．
13. 函数 的极大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求导可得函数的极值，从而得到最值，即可得到结果.
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【详解】由 可得 ，
令 ，即 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以 是函数的极大值点，即最大值点，
且最大值为 .
故答案为：
14 已知数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据 分组求和得 ，即可得解.
详解】由 可知：
当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，
所以 ，
即
，
由此解得 .
故答案为：
四、解答题（共 5 小题，总计 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记 为等差数列 的前 项和．已知 ．
（1）求 的通项公式；
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（2）记集合 ，将 中的元素从小到大依次排列，得
到新数列 ，求 的前 20 项和．
【答案】（1） ；
（2）487
【解析】
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）列举法表示 ，得到 的前 20 项，并分组求和，得到答案.
【小问 1 详解】
设公差为 ，
由题意得 ，
解得 ，
故 ；
【小问 2 详解】
，
，
故 的前 20 项为 ，
故 的前 20 项和为
.
16. 在① ， ；② 这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下
题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且对任意正整数 ，有________.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
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【答案】（1）选①②，答案均 ；
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）选①，根据 ，得到 ， 为首项和公
差均为 1 的等差数列，得到 ，根据 求出通项公式；选②， ，
求出 为首项和公差均为 1 的等差数列，得到 ，根据 求出通项公式；
（2）求出 ，求和得到 ，并作差得到 ，得到 的最小值
为 ，证明出结论.
【小问 1 详解】
选①， ， ，
因为 ，
所以 ，
因为数列 的各项均为正数，所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 为首项和公差均为 1 的等差数列，
所以 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
显然满足 ，
综上， ；
选②， ①，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
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故 ，
又因为数列 的各项均为正数，所以 ，
故 ，即 ，
又 ，故 为首项和公差均为 1 的等差数列，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
显然满足 ，
综上， ；
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 为递增数列，故 的最小值为 ，
所以 .
17. 已知函数 ，函数 .
（1）设点 是函数 图象上的任意一点，在点 处切线的倾斜角为 ，求角 的取值范围；
（2）讨论函数 在区间 上的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
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【解析】
【分析】（1）求导，先求出 ，再结合导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系及正切函数的性
质求解即可；
（2）求导，分 ， 两种情况讨论求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，
则 ，则 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 或 ，
即角 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
由 ， ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增；
当 时，若 ， ；若 ， ，
所以函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减.
18. 已知数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
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（3）对于（2）中的数列 ，问是否存在正整数 ，使得 、 、 成等差数列？若存在，请求出所
有符合条件的正整数 ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）不存在正整数 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）构造出 ， 为等比数列，求出通项公式；
（2） ，错位相减法求和得到 ；
（3）根据等差中项得到方程，求出 ，设 ，作差法得到当 时，数列 为递减数
列，结合 ，得到对所有正整数 ，均有 ，所以不存在正整数 ，使得 、
、 成等差数列.
【小问 1 详解】
，故 ，
，故 ，所以 为首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 ，所以 ；
【小问 2 详解】
，
所以 ①，故 ②，
式子①-②得 ，
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故 ；
【小问 3 详解】
不存在正整数 ，使得 、 、 成等差数列，理由如下：
、 、 成等差数列，故 ，
即 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， 恒成立，
所以当 时，数列 递减数列，
又 ，
故对所有正整数 ，均有 ，
所以不存在正整数 ，使得 、 、 成等差数列.
19. 对于数列 ，如果存在一个正整数 ，使得对任意 ，都有 成立，那么就把这样
的一类数列 称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列 的最小正周期，简称周期.
（1）判断数列 是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
（2）已知无穷数列 是周期为 2 的周期数列，且 ， ， 是数列 的前 项和，若
对一切正整数 恒成立，求常数 的取值范围；
（3）若无穷数列 和 满足 ，且 ，是否存在非零常数 ，使
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得 是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数 ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）数列 为周期数列，周期为 2
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）根据题意，分 为偶数和 为奇数时两种情况讨论求解即可；
（3）假设存在非零常数 ，使得 是周期为 的数列，推导出数列 是周期为 的周期数列，进而
得数列 周期为 ，推出 ，由而该方程无解即可得解.
【小问 1 详解】
因为 ，
，
所以数列 是周期数列，其最小正周期为 2；
【小问 2 详解】
因为无穷数列 是周期为 的周期数列，且 ， ，
所以当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ，
因为 对一切正整数 恒成立，
所以当 为偶数时， ，故只需 即可；
当 奇数时， 恒成立，故只需 即可；
综上， 对一切正整数 恒成立，常数 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
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假设存在非零常数 ，使得 是周期为 T 的数列，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是周期为 的周期数列，
因为 ，
即 ，因为 ，
所以 ，
，
所以数列 的周期为 ，
所以 ，即 ，显然方程无解，
所以不存在非零常数 ，使得 是周期数列.
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