黑龙江省哈尔滨市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析，共15页。试卷主要包含了 已知正数满足，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由，得，解得，所以，
又，所以
故选：C.
2. 已知命题，则是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】因为命题是全称命题，
所以是，故D正确.
故选：D.
3. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
详解】根据题意可得：，解得：.
故选：D.
4. 已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（ ）
A. 单调递增，有最小值B. 单调递增，有最大值
C. 单调递减，有最小值D. 单调递减，有最大值
【答案】B
【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同，
函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，
又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值.
故选：B.
5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积是它的体积的倍，则该直角圆锥的母线长为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【详解】设圆锥底面半径为，则高也为，
所以，母线长为.
故选：D>
6. 将标有1，2，3，4的4个不同的小球分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少有1个球，则1号球分给甲的不同分配方式共有（ ）种.
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】B
【详解】由题可先将1号球分给甲，再将情况进行分类：
第一类，甲只有一个球，则另外三个球分给乙和丙两位同学，有种方法，
第二类，甲有两个球，则需要将其余3个球分发给3位同学，方法数有种，
所以共有种分法.
故选：B.
7. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可知，随机变量的密度曲线关于对称，
，所以.
故选：A.
8. 已知样本数据都为正数，其方差为，则样本数据的平均数为（ ）
A. 21B. 25C. 80D. 101
【答案】A
【详解】设平均数为，
因为
，
，
所以，由，故.
则样本数据的平均数为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】对于A： ，故，即，当且仅当取等号，故A正确；
对于B：因， ，当且仅当取等号，故B正确；
对于C：若，令，故C错误；
对于D：，故，当且仅当取等号，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据的经验回归方程为，若，则
B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C. 一个小球从原点出发，每次沿着数轴所在直线向左或向右移动1个单位，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.那么小球第1次移动后位于-1且第5次移动后位于1的概率为
D. 若随机变量，则
【答案】BC
【详解】A：由若，可得，则，故A错误；
B：由题意得，则可认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于，故B正确；
C：由题意得小球第一次应向左移动则位于，然后第2至5次中向右移动3次向左移动1次，
则，故C正确；
D：由，得，则，
，则，故D错误；
故选：BC.
11. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】由题意可知，A正确，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则_____.
【答案】
【详解】由，可得，所以，
所以，.
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为_____.
【答案】12
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为12.
故答案为：12.
14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则_____.
【答案】2022
【详解】为奇函数，，即，关于点对称，
为偶函数，，关于直线对称，
，将其代入，得，
用替换，得，
将代入，得，即
故的周期为4，
，由，令，得；
由，令，得
，
，
故答案：2022.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由可得，
由可得，，，
故.
【小问2详解】
由（1）得，
故
则.
16. 已知函数.
（1）若函数在处的切线斜率为3，求该切线方程；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，所以，
，切点为，
切线方程为，即；
【小问2详解】
，
设，
设在上单调递增；
时，即在上单调递减；
时，即在上单调递增，
.
17. 一座城文明，是一个地方的骄傲.为构建好符合时代要求的文明城市，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛.共有1000人参与此次竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，根据这100份答卷的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计参加该次竞赛的1000人中，打分不低于70分的人数；
（2）试估计这100份样本的平均分和第三四分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）；
（3）假设分数在之间为优秀，在之间为良好，现采用分层随机抽样的方法，从分数在之间随机抽取9份答卷，再从这9份答卷中随机抽取2件，求至少有一份答卷成绩为优秀的概率.
【答案】（1），
（2），
（3）
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，，解得，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：.
【小问2详解】
平均数为：；
所以，
所以的分位数为.
【小问3详解】
由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.5和0.4，
所以打分在和内的频率之比为，
所以在打分中抽取的人数为人；
在打分中抽取的人数为人.
设“至少有一份答卷成绩为优秀”为事件，
则.至少有一份答卷成绩优秀.
18. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）求曲线在（0，1）的曲率；
（2）求曲线曲率的最大值；
（3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
因为，则，，
所以
【小问2详解】
因为，则，，
所以，
令
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，所以曲率最大值为.
【小问3详解】
，
，
因为不存在曲率为0的点，所以在无实数解，
令，
，
令，求导得，
故函数在上单调递增，
而，则存在，使，
即，此时，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
由，得，
则，
所以的取值范围是.
19. 某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题.
（1）若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高；
（2）若，求选择方案一学生得分的分布列；
（3）若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析； （3）应选择方案二，理由见解析
【小问1详解】
记选择方案二学生的得分为，
，
，当且仅当时取等，
此时满分概率为；
【小问2详解】
在方案一中，记A类题得分为，B类题得分为，选择方案一学生得分为，
，
，
由题可知可能的取值为0、25、50、75、100，
，
，
的分布列为
【小问3详解】
应选择方案二，理由如下：
方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件，
由可得，解得，
，
故，
其中，
，
所以
，
所以，应选择方案二；
方法二：由可得，解得，
若选择方案一，学生得分可能的取值分别是0、25、50、75、100，
，
，
，
所以
，
若选择方案二，学生得分可能的取值分别是0、50、100，
其中，
，
所以
，
所以
，
所以，应选择方案二.Z
0
25
50
75
100
P