黑龙江省2024_2025学年高二数学下学期第一次阶段性考试4月试卷含解析

这是一份黑龙江省2024_2025学年高二数学下学期第一次阶段性考试4月试卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知数列 的首项为 1， 则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由递推公式即可写出 的值.
【详解】当 时，∵ ，∴ ，
当 时，∵ ，∴ ，
当 时，∵ ，∴ .
故选：A.
2. 四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”
为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出
如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C. 样本中选择物理学科的人数较多
D. 样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
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【解析】
【分析】根据等高条形图 概念结合条件逐项分析即得.
【详解】根据等高条形图图 1 可知样本中选择物理学科的人数较多，故 C 正确；
根据等高条形图图 2 可知样本中男生人数多于女生人数，故 D 错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女
生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故 A 错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故 B 错误.
故选：C.
3. 某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分
类统计结果，并计算得出 ，经查阅 独立性检验的小概率值和相应的临界值，知 ，
则下列判断正确的是（ ）
A. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是
B. 每 100 个数学成绩优秀的人中就会有 1 名是女生
C. 数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
D. 在犯错误的概率不超过 的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立性检验的定义判断即可.
【详解】因为 ，
所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 ，
即在犯错误率不超过 的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故 C 正确，D 错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故 A 错误；
每 个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故 B 错误；
故选：C．
4. 已知数列 为等比数列，其中 ， 为方程 的两根．则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】根据韦达定理可得 ，利用等比数列的等比中项性质即可求解.
【详解】由题得，根据韦达定理可得 ， ，则 ，
由等比数列的等比中项性质可得： .
因为等比数列的偶数项符号相同， 都是负数，设公比为 q，则 ,
所以 .
故选：B.
5. 设随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知 ， ，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量 ，
所以，
因为 ，
所以 ，
所以，根据正态分布的对称性， .
故选：A
6. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则公比为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的性质及等比中项可得 ，进而可得 ，即得.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则
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， ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，即公比为 1.
故选：D.
7. 等差数列 的前 项和分别是 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，由 与 的关系计算可得.
【详解】由 可设 ，
则 ，
，
所以
故选：D
8. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－6n，数列{|an|}的前 n 项和 Tn，则 的最小值是
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由已知
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，
当 时，有最小值 ．
考点：数列的通项公式、数列的前 项和．
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对得 6 分，不分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压
发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔 6 千米～15 千米的大气
压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为 ，决定系数为 ；根
据非线性回归模型得到经验回归方程为 ，决定系数为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B. 由方程 可知，海拔每升高 1 千米，大气压强必定降低 4.0kPa
C. 由方程 可知，样本点 的残差为
D. 对比两个回归模型，结合实际情况，方程 的预报效果更好
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据散点图即可得出 A 项；根据回归方程的含义可判断 B 项；根据残差计算公式求出残差，可判
断 C 项；根据实际大气压强不能为负，可判断 D 项.
【详解】对于 A 项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故 A 项
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正确；
对于 B 项，回归直线得到 数据为估计值，而非精确值，故 B 项错误；
对于 C 项，当 时， ，又由散点图知观测值为 ，所以样本点
的残差为 ，故 C 项正确；
对于 D 项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程 的预
报效果更好，故 D 项正确.
故选：ACD.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上
层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，….设第 n 层有 个球，从上往下 n 层球的总数为 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，利用叠加法求得 ，结合等差数
列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得： ，
以上 个式子累加可得 ，
其中 时，满足上式，所以 ，
对于 A 中，由 ，所以 A 正确；
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对于 B 中，由 ，所以 B 错误；
对于 C 中，由 ，所以 C 正确；
对于 D 中，由 ，
可得 ，所以 D
正确.
故选：ACD.
11. 设 为公比为 的等比数列， ，其中符号 表示不超过 x 的最大整数，
则（ ）．
A. 若 ， ，则
B. 若 ， 的最大值为 3，则 q 的取值范围是
C. 若 ， 为常数列，则 为常数列
D. 若 与 为同一个数列，则 、q 均为非零整数
【答案】ABD
【解析】
【分析】 通过等比数列的通项公式和取整函数的性质即可判断.
【详解】 对于选项 A：由等比数列通项公式 得 ，所以 . 故 A 正确；
对于选项 B：因为 ，由题意 的最大值为 1.
当 或 均不符合题意，故 .
所以 ，即 ，解得 . 故 B 正确；
对于选项 C：取 ， ，则 ， ， ，
显然 是各项为 的常数列；故 C 错误；
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对于选项 D：因为 的项都是整数，而 与 为同一个数列，所以 、q 均需为非零整数. 故 D
正确；
故选：ABD.
三、填空题：本小题共 3 道小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知各项均为正数的等比数列 满足： ，则
__________.
【答案】60
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，由两个等式求得 ，再利用等比数列部分和的特征，将 拆
项分组求和.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，
可得 ，即 ，
则
.
故答案为：60.
13. 已知数列 满足：① ；②对于任意正整数 ， ，都有 成立．则数列 的通
项公式 ______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ， ，结合 得出 ，令 ， ，即可得出数列 的通项公式．
【详解】令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ；
令 ， ，则 ，
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所以 ，
故答案为：
14. 若数列 为等差数列，满足 ，数列 满足 ， 的前
项和为 ，则当 ______时， 取得最大值．
【答案】15
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据 得到 ，推出 ，判断出当
时， ； 时， ，再根据 ，判断出 对 取正负的影响，
进而可得出结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，因为数列 是等差数列， ，
所以 ，因此 ，所以 ，
所以 ， ，
因此，当 时， ； 时， ，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ；
因为
，
所以，当 时， 取得最大值.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 是各项均为正数的等比数列， ，且 成等差数列.
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（1）求 的通项公式.
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比 ，可得其通项公式；
（2）代入 得到 的通项公式，利用分组求和计算可得结果.
【小问 1 详解】
因为数列 是各项均为正数的等比数列， ，且 成等差数列，
所以 .
设数列 的公比为 ，则 ，
解得 ，或 （舍），
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
则
，
即数列 的前 项和 .
16. 某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店 3 月份上旬中某 5 天的日营业额 y(单元：
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千元)与该地当日最低气温 x(单位：∘C)的数据，如表：
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
(1)求 y 关于 x 的回归直线方程 ；
(2)设该地 3 月份的日最低气温 ，其中μ近似为样本平均数， 近似为样本方差，求
参考公式： ，
计算参考值： .
.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由题，计算 ， ，进而求出线性回归方程．
（2）由题可得 ，计算 的值，从而得出
【详解】(1) 由题意可得 ， ，
，
∴y 关于 x 的回归直线方程
(2)由题意，平均数为 ，方差为 ， ，
，
【点睛】本题考查线性回归方程与概率问题，属于简单题．
17. 设正项等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
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（2）数列 满足 ．设在数列 中且不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列
，记数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 可得答案；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，利用在数列 中且不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列
的前 40 项和 可得答案．
【小问 1 详解】
设正项等差数列 的前 项和为 ， ，
，则 ．
两式相减可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 首项为 2，公差为 1 的等差数列，即 ；
【小问 2 详解】
由 ， ，得 ．
则数列 以 为首项， 为公比的等比数列，
若 ，可得 ，
，
设数列 的前 n 项和为 ，在数列 中且不在数列 中的项，
按从小到大的顺序构成数列 的前 40 项和
．
18. 有一种被称为汉诺塔（Hani）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号 、 、 ）．在
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杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）．游戏的目标：把 杆上的金盘全部移到 杆上，并
保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘
在下、小盘在上，操作过程中盘子可以置于 、 、 任一杆上．记 个金盘从 杆移动到 杆需要的最
少移动次数为 ．
（1）求 ， ， ，并猜想 的值
（2）求证： ．
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得将 个金盘从 A 杆移动到 杆，可先先将 个金盘从 A 杆移动到 B 杆，再将 A 杆
上 第 n 个金盘移到 C 杆，再将 B 杆上的金盘全部移到 C 杆，据此可得答案；
（2）由（1）可得 ，然后由 ，结合题意可完成证明.
【小问 1 详解】
注意到将 个金盘从 A 杆移动到 杆需要的最少移动次数与将 个金盘从 A 杆移动到 B 杆需要的最少移动
次数相同，
则将 个金盘从 A 杆移动到 杆，可先将 个金盘从 A 杆移动到 B 杆，最少移动次数为 ，
再将 A 杆上的第 n 个金盘移到 C 杆，再将 B 杆上的金盘全部移到 C 杆，最少移动次数为 ，
则当 ， 时， .
又由题可得 ，则 ，
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【小问 2 详解】
由（1） ，
则 ，又 ，
则 是以 为首项，公比为 2 的等比数列.
则 ，又注意到 ，
则 ， ，
则
19. 人教 A 版选择性必修二第 8 页中提到：欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与
互素的正整数的个数，例如 ．
（1）求 的值；
（2）已知数列 满足 ，求 的前 项和 ；
（3）若数列 前 项和为 ，对任意 ，均有 恒成立，
求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可；
（2）利用错位相减法求和，即可得出结果；
（3）由（2）可知 ，求出 ，将不等式 化简，分离参
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数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果.
【小问 1 详解】
因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以
因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以
正偶数与 不互素，所有正奇数与 互素，比 小的正奇数有 个，所以 ；
【小问 2 详解】
所有不超过正整数 的正整数有 个，其中与 不互素的正整数有 ， ， ， ， ，共
个，
所以所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数为 个，
即 ，
两式相减得
【小问 3 详解】
由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
则 ，
可得 ； 当 时， ，当 时， ，
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所以 的最大值为 ，
故
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