2024-2025学年湖南省长沙市开福区立信中学七年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市开福区立信中学七年级（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. −3B. 0C. πD. 227
2.如图的几何体，从前面看到的图形是( )
A. B. C. D.
3.初一年级积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能聚沙成塔，光盘事小也能水滴石穿.我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪就分别达800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的口粮!“800万”这个数据用科学记数法表示为( )
A. 800×104B. 80×105C. 8×106D. 0.8×107
4.单项式−3xy2的系数和次数分别为( )
A. −3，2B. −3，3C. 3，3D. −3，1
5.如果|a−1|+(b−2)2=0，则ab的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
6.把弯曲的河道改直，能够缩短船舶航行的路程，这样做的道理是( )
A. 垂线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，直线最短D. 两点之间，线段最短
7.如图，下列说法中正确的是( )
A. OA方向是北偏东30°
B. OB方向是北偏西75°
C. OC方向是南偏西75°
D. OD方向是东南方向
8.某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是( )
A. x−2245+2230=1B. x+2230+2245=1C. x+2245+2230=1D. x30+x−2245=1
9.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是( )
A. B.
C. D.
10.对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9.每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15.如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为( )
A. 5B. 1C. 0D. −1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.8的立方根是 ．
12.已知∠α的余角为48°35′，则∠α= ______．
13.已知x=−2是方程2x+m=4的一个解，则m=______．
14.如果单项式5xmy2和−2x3yn是同类项，则m+n= ______．
15.已知m2−5m的值为4，则代数式3m2−15m+8的值为 ．
16.2023年5月9日，湖南湘江新区大王山欢乐云巴正式对外运营.一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间需要安排不同的车票______种.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如果一个正数的两个平方根分别是a+1和2a−7，求这个正数．
18.(本小题6分)
计算：(−1)2024+ 16−| 2−1|−(π−2)0．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：5x2−3(2x2+4y)+2(x2−y)，其中x=3，y=17．
20.(本小题8分)
小李同学在解关于x的一元一次方程2x−13=x+a3−1去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为x=4，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解．
21.(本小题8分)
如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°．
(1)求∠BOD的度数；
(2)若OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
22.(本小题9分)
如图，点C为线段AB上一点，点D为线段CB的中点，且AB=48cm，AC=12cm．
(1)求线段BD的长度；
(2)若点E在线段AB上，且AE：BE=1：2，求线段ED的长度．
23.(本小题9分)
“双11”期间，某个体商户在网上进购某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购进3件A和4件B需支付2400元，若购进1件A和1件B，则需支付700元．
(1)求A、B两款羽绒服在网上的售价每件分别是多少元．
(2)若个体商户把网上购买的A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按6折销售完，若总获利为3800元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件．
24.(本小题10分)
“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”．
(1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程x3+a=0与关于x的方程3x−25=x+a2互为“归一方程”，求a的值．
(3)若关于x的两个方程3x+2(m+1)=mn与12mn−34x=m+14互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值．
25.(本小题10分)
新定义：如图1，已知射线OP在∠MON的内部，图中共有3个角：∠MON，∠MOP和∠PON，若其中有一个角的度数是另一个数的两倍，则称射线OP是∠MON的“立信线”．
(1)一个角的平分线______这个角的“立信线”；(填“是”或“不是”)
(2)如图2，若∠MON=60°，射线OP绕点O从ON位置开始.以每秒10°的速度逆时针旋转，当OP与ON首次成180°时停止旋转，设射线OP旋转的时间为t秒.求当t为何值时，射线OP是∠MON的“立信线”；
(3)如图3，射线ON为∠POD的“立信线”，且∠DON=2∠NOP.射线OA、OB分别为∠MOP、∠NOD的平分线，请猜想∠AOB、∠NOP、∠MOD会有怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.A
6.D
7.D
8.A
9.C
10.B
11.2
12.41°25′
13.8
14.5
15.20
16.72
17.解：根据题意知a+1+2a−7=0，
解得：a=2，
∴这个正数为(a+1)2=32=9．
18.解：(−1)2024+ 16−| 2−1|−(π−2)0
=1+4−( 2−1)−1
=1+4− 2+1−1
=5− 2．
19.解：原式=5x2−(6x2+12y)+(2x2−2y)
=5x2−6x2−12y+2x2−2y
=x2−14y；
当x=3，y=17时，
原式=32−14×17=9−2=7．
20.解：按照小李同学的方法去分母得：2x−1=x+a−1，
将x=4代入该方程得：2×4−1=4+a−1，
解得：a=4，
∴原方程为2x−13=x+43−1．
去分母得：2x−1=x+4−3，
移项、合并同类项得：x=2．
答：a的值为4，原方程正确的解为x=2．
21.解：(1)因为A、O、B三点共线，∠AOD=42°，
所以∠BOD=180°−∠AOD=138°；
(2)因为∠COB=90°，
所以∠AOC=90°，
因为∠AOD=42°，
所以∠COD=48°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE=12∠BOD=69°，
所以∠COE=69°−48°=21°．
22.(1)∵AB=48cm，AC=12cm，
∴BC=AB−AC=48−12=36(cm)，
又∵点D为线段CB的中点，
∴BD=12BC=12×36=18(cm)；
(2)∵AE：BE=1：2，
∴可设AE=x cm，则BE=2x cm，
∵AE+BE=AB，
∴x+2x=48，
解得：x=16，
∴BE=2×16=32(cm)，
∴ED=BE−BD=32−18=14(cm)．
23.解：(1)设A款羽绒服在网上的售价每件是x元，则B款羽绒服在网上的售价每件是(700−x)元，
根据题意得：3x+4(700−x)=2400，
解得x=400，
∴700−x=700−400=300，
∴A款羽绒服在网上的售价每件是400元，B款羽绒服在网上的售价每件是300元；
(2)设个体商户打折销售的羽绒服是m件，
根据题意得：600(20−m)+600×0.6m−(400×10+300×10)=3800，
解得m=5，
∴个体商户打折销售的羽绒服是5件．
24.(1)解方程2x=4，得x=2，
解方程mx=1，得x=1m，
∵方程2x=4与方程mx=1互为“归一方程”，
∴2+1m=1，
∴m=−1．
(2)解方程x3+a=0，得x=−3a，
解方程3x−25=x+a2，得x=5a+4，
∵方程x3+a=0与方程3x−25=x+a2互为“归一方程”，
∴−3a+5a+4=1，
∴a=−32．
(3)设关于x的方程3x+2(m+1)=mn的解为x1，则方程3x1+2(m+1)=mn①，
设关于x的方程12mn−34x=m+14的解为x2，则12mn−34x2=m+14，整理得2mn−3x2=4m+1②，
①−②，得3(x1+x2)+2(m+1)−2mn=mn−4m−1，
∵方程3x+2(m+1)=mn与方程12mn−34x=m+14互为“归一方程”，
∴x1+x2=1，
∴3+2(m+1)−2mn=mn−4m−1，
∴n=2+2m，
当m=1时，n=2+2=4，
当m=2时，n=2+1=3，
∴所有满足条件的正整数m、n值为m=1，n=4或m=2，n=3．
25.(1)是；
(2)当∠MOP=2∠NOP时，则∠NOP=13∠MON=20°，
∴t=20°÷10°=2(秒)；
当∠MON=2∠MOP时，OP是∠MON的平分线，
则∠NOP=12∠MON=30°，
∴t=30°÷10°=3(秒)；
当∠NOP=2∠MOP时，则∠NOP=23∠MON=40°，
∴t=40°÷10°=4(秒)；
综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线OP是∠MON的“立信线”；
(3)∠AOB=12∠MOD+12∠NOP，理由如下：
∵射线OA、OB分别为∠MOP、∠NOD的平分线，
∴∠AOP=12∠MOP，∠NOB=12∠NOD，
∵∠AOB=∠AOP+∠NOP+∠NOB
=12∠MOP+∠NOP+12∠NOD
=12(∠MOP+∠NOP+∠NOD)+12∠NOP
=12∠MOD+12∠NOP，
∴∠AOB、∠NOP、∠MOD间的数量关系为∠AOB=12∠MOD+12∠NOP．