湖北省十堰市2024_2025学年高二数学下学期5月联考试题含解析

这是一份湖北省十堰市2024_2025学年高二数学下学期5月联考试题含解析，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（5*8）
1. 已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列性质可知 ，即可求解 ，进而求出 ．
【详解】解：由等比数列性质可知 ，所以 或 ，
但 ，可知 ，所以 ，则 ，
故选：B
2. 设 ，化简 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理化简即可．
【详解】 ，
故选：C．
3. 已知 的分布列如图所示，设 ，则 （ ）
ξ 1 2 3 4
P m
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分布列 性质，求得 ，由期望的公式，可得 ，再根据 ，即可求解.
【详解】由题意，根据分布列的性质，可得 ，解得 ，
所以随机变量 的期望为 ，
又由 ，可得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答
的关键，着重考查了计算能力.
4. 已知函数 ，则“ ”是“函数 为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的导函数，利用导数与单调性的关系求出函数 为增函数时参数 的取值范围，
再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：因为 ，所以 ，所以当 时 ，函数在定义域上单
调递增，因为 ，所以“ ”是“函数 为增函数”的充分不必要条件，
故选：A
5. 将编号为 1、2、3、4、5、6 小球放入编号为 1、2、3、4、5、6 的六个盒子中，每盒放一球，若有且
只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A. 90 B. 135 C. 270 D. 360
【答案】B
【解析】
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【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.
【详解】在 6 个盒子中任选 2 个，放入与其编号相同的小球，有 种，
剩下的 4 个盒子的编号与放入的小球编号不同，
假设这 4 个盒子的编号为 3,4,5,6，
则 3 号小球可以放进 4,5,6 号盒子，有 3 种选法，
剩下的 3 个小球放进剩下的 3 个盒子，有 3 种选法，
所以不同的放法种数为 种选法.
故选：B.
6. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数 求导，再令 ，可得出关于 的方程，即可解出 的值.
【详解】∵ ，则 ，
令 得 ，解得 .
故选：D.
7. 2019 年 1 月 28 日至 2 月 3 日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站
在此期间每日接送旅客人数 （单位：万）近似服从正态分布 ，则估计在此 7 天中，至少有 5
天该车站日接送旅客超过 10 万人次的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解.
【详解】解： ，得 .
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故 7 天中至少有 5 天该车站日接送旅客超过 10 万人次的概率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中
档题.
8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，
用大写字母（如 ）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如 ）来表示.如图，在孟德
尔豌豆试验中， 的基因型为 Dd，子二代 的基因型为 DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为 如
果在子二代中任意选取 2 颗豌豆进行杂交试验，则子三代 中高茎的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可.
【详解】子二代基因配型有 6 种情况，分别记为事件 ,
“子三代基因型为高茎”记为事件 ，则
事件
配型
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,
故选：B
二、多选题（6*3）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. ，则
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导.
【详解】对于选项 A： ，故 A 错误；
对于选项 B： ，故 B 正确；
对于选项 C： ，故 C 错误；
对于选项 D： ，故 D 正确；
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据排列数公式可直接判断 A；根据组合数公式计算可判断 B；由组合数性质可判断 C；利用排列
数公式直接计算可判断 D.
【详解】对于 A， ，
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所以 ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 正确；
，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知随机事件 ， 满足 ， ， ，则（ ）
A 事件 与事件 相互独立 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，即 ，事件 与事件 相互
独立，A 正确；
对于 B，由选项 A 知，事件 相互独立，则 ，B 错误；
对于 C， ，C 错误；
对于 D， ，D 正确.
故选：AD
三、填空题（5*3）
12. 的展开式中 的系数为___________.
【答案】12
【解析】
【分析】写出 展开式的通项公式，分 和 两种情况，分别求出 的系数，
求和即可．
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【详解】因为 展开式的通项公式为 ，所以 的展开式中
的 对应的 应满足 ，此时 符合要求，对应系数为 ； 的展开式中的
对应的 应满足 ，此时无解.所以 的展开式中 的系数为 12.
故答案为：12.
13. 甲､乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，若比赛采用 3
局 2 胜制（即先胜两局者获胜），则乙获胜的概率是___________.
【答案】0.352.
【解析】
【分析】乙获胜的情况有两种：一是乙连胜前 2 局；二是前 2 局乙一胜一负，第三局乙胜.由此利用相互独
立事件概率乘法公式能求出乙获胜的概率.
【详解】乙获胜的情况有两种：一是乙连胜前 2 局；二是前 2 局乙一胜一负，第三局乙胜.
则乙获胜的概率为： .
故答案为：0.352.
14. 已知点 A 在曲线 上，点 B 在直线 上，则点 A，B 之间的距离的最小值为____________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据点 A，B 之间的距离的最小时，点 A 处的切线与直线 平行求解即可
【详解】由题意，当点 A，B 之间的距离的最小时，点 A 处的切线与直线 平行.又 ，故当
时， ，故此时 .故点 A，B 之间的距离的最小值为 到直线 的距离
.
故答案为：
四、解答题
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15. 已知数列 的前 项和 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1） ，当 时， ，两式相减得 ，即可求得通项公式；
（2）求出 ，利用裂项求和的方式求数列 的前 项和 .
【详解】（1）由 ，得 .
当 时， ，两式相减得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】此题考查求数列的通项公式和数列求和，涉及裂项相消求和方法，属于基础题目.
16. 已知函数 ， 为 的导函数．
（1）求函数 的单调性；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
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【答案】（1）在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）最大值为 9，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）先对函数化简后，再对函数求导，然后由导数的正负可得到函数的单调性；
（2）通过列出函数 与 的变化求出函数的极值，再求出 ，然后与极值比较可求出函
数的最值.
【小问 1 详解】
.
，
令 ，解得 ，
由 得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，此时函数单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 2 详解】
当 时，函数 与 的变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当 时，函数 取得极大值， ，
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当 时，函数 取得极小值， ，
又 ，
可知函数 的最大值为 9，最小值为 .
17. 有 5 个男生和 3 个女生，现从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）含有女生但人数必须少于男生；
（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
【答案】（1）5400
（2）3360 （3）360
【解析】
【分析】（1）由题意可得男女的人数，根据分组分配，可得答案；
（2）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案；
（3）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案.
【小问 1 详解】
先选后排，5 人可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，
所以先选有 种方法，后排有 种方法，
所以共有不同选法 （种）.
【小问 2 详解】
分步：
第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有 种方法；
第二步，然后从剩余的 7 人中选出 4 人，有 种选法；
第三步，选出的 4 人排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法 （种）.
【小问 3 详解】
第一步，安排某男生，有 种方法；
第二步，从剩余的 6 人中选出 3 人，有 种选法；
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第三步，选出的 3 人排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法 （种）.
18. 已知在 的展开式中，前 3 项的系数分别为 ，且满足 .求：
（1）展开式中二项式系数最大项的项；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）展开式中所有有理项.
【答案】（1）
（2） 和
（3） 和
【解析】
【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求 ，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的
项；
(2)设第 项系数最大，列不等式组求 ，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【小问 1 详解】
因为 展开式的通项公式为 ， ，
所以
依题意得 ，即 ，由已知 ,
所以 ，
所以 的展开式有 9 项，二项式系数最大的项为第 5 项，
所以 .
【小问 2 详解】
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由（1）知， ，
设展开式中系数最大的项为第 项，则 ，
即 ，即 ，
解得 ，所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为 和 .
【小问 3 详解】
由 为有理项知， 为整数，得 ， ，
所以展开式中所有有理项为 和 .
19. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023 学年全国青
少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．
某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽
取了 10 名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 （分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这 10 名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为 ， ．经计算 ， ．
（1）求 与 ；
（2）规定竞赛成绩不低于 60 分为优秀，从这 10 名学生中任取 3 名，记竞赛成绩优秀的人数为 X，求 X 的
分布列；
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（3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布 ，用 ， 的值分别作为 ， 的近似值，
若科创中心计划从全市抽查 100 名学生进行测试，记这 100 名学生的测试成绩恰好落在区间 的人数
为 Y，求 Y 的均值 ．
附：若 ，则 ， ，
．
【答案】（1） ，
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而可得分布列，
（3）根据正态分布的性质，结合 区间的概率以及二项分布的期望公式即可求解.
【小问 1 详解】
， ；
【小问 2 详解】
竞赛成绩“优秀”的学生有 3 人，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，
则 ， ，
， ．
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
【小问 3 详解】由题意， ， ，记抽查学生的测试成绩为 ，
则 ，
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∴这 100 名学生的测试成绩恰好落在区间 的入数为 ，
∴ ．
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