湖北省十堰市部分重点中学2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

十堰市部分重点中学2023年度5月联考

高二数学试卷

考试时间：2023年5月17日下午-15：00–17：00试卷满分：150分

一､单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点到准线的距离是（    ）.

A.    B.    C.2    D.4

2.已知函数在处的导数为12，则（    ）

A.-4    B.4    C.-36    D.36

3.的展开式中含项的系数为（    ）

A.-24    B.24    C.-16    D.16

4.已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.数列满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.3

6.已知随机变量，且，则的最小值为（    ）

A.9    B.8    C.    D.6

7.某公司安排甲､乙､丙､丁四位职员到三个社区开展调研活动，每位职员必须到一个社区开展活动，每个社区至少有一位职员.由于交通原因，乙不能去社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为（    ）

A.36    B.24    C.20    D.14

8.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.5月1日当晩，武当山举行无人机天幕秀，数百架无人机编队以天为幕，呈现精心设计的4个武当山的“地标”，分为“太和宫､龙头香､太子坡､宣武门”.按照以上排好的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（    ）

A.事件“成功表演太和宫环节”与事件“成功表演太子坡环节”互斥

B.“龙头香”､“宣武门”环节均表演成功的概率为

C.表演成功的环节个数的期望为3

D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“宣武门”环节表演成功的概率为

10.已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ）

A.是为等差数列的充要条件

B.可能为等比数列

C.若，则为递增数列

D.若，则中，最大

11.现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（    ）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

12.已知函数是的导数，下列说法正确的是（    ）

A.曲线在处的切线方程为

B.函数有唯一极小值

C.函数在上单调递增，在上单调递减

D.对于任意的总满足

三､填空题.本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点及原点恰好将线段四等分，则双曲线的离心率为__________.

14.已知，则__________.（用数字作答）

15.假设某地历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.现此地距上一次发生特大洪水已经过去了30年，那么在未来10年内该地区仍无特大洪水发生的概率是__________.

16.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是__________.

四､解答题.本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：.

18.（12分）已知等差数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

19.（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）讨论函数的单调性.

20.（12分）甲､乙两队进行一场排球比赛，假设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为.

（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；

（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.

21.（12分）已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设与圆相切的直线交椭圆于两点（为坐标原点），求线段长度的最大值.

22.（12分）已知是实数，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个相异的零点且，求证：.

十堰市部分重点中学2023年度5月联考高二数学参考答案

1.B

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，

则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，

2.B

【详解】根据题意，函数在处的导数，

则，

3.B

【详解】的展开式中含的项为，系数为24.

4.C

【详解】由图象知的解集为的解集为，

或

所以或，解集即为.

5.A

【详解】，

，

，

数列是以3为周期的周期数列，

，

故选：A.

6.B

【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，

又因为，所以，

所以.当时，，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为8.

7.C

【详解】解：由于乙不能去社区，则乙可以去或社区，共2种，

剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，

①分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有种，

②分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有种，所以不同的安排方法数为种，

8.D

【详解】根据题意知，即，

令，则在上恒成立，

由，在上；在上，

所以在上递增；在上递减，且，

在上上，而，

当时，，成立；

当时，根据在上单调递增，在上恒成立，

综上所述：只需满足即，

令，则在上恒成立，即在上递增，

故，

综上所述：的取值范围为.

故选：D.

9.BCD

【详解】事件“成功表演太和宫环节”与事件“成功表演太子坡环节”可以同时发生，故不互斥，

错误；“龙头香”､“宣武门”环节均表演成功的概率为正确；

记表演成功的环节个数为，则，期望为，C正确；

记事件：“表演成功的环节恰为3个”，事件：“宣武门环节表演成功”.

，

由条件概率公式正确，

10.ABD

【详解】；

当时，，

当时，，满足通项公式，数列为等差数列；

当为等差数列时，，故A正确；

当时，，是等比数列，B正确；

，取，则错误；

当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故最大，D正确.

故选：ABD

11.ACD

【详解】对于A，带有编号的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；

对于，带有编号的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为有种分法；若两组球个数之比为有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确；

对于，带有编号的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确；

对于D，带有编号的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确；

12.ABD

【详解】解：，则，而，

因此，曲线在点处的切线方程为正确；

则，

由于

故存在使得，可得有唯一极小值.B正确

设，

当时，，

则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，

所以在上单调递增，C错误；

设，

则

由选项C知，在上单调递增，而，则，

即有，因此函数在上单调递增，

，即有，

所以对任意的，总满足，D正确.

综上，正确答案为

13.【详解】解：由题意得

14.15

【详解】解：令，得，令，得，令

，得

解得，故

15.0.75

解析设“在30年内发生特大洪水”为事件“在40年内发生特大洪水”为事件“未来10年内该地区将发生特大洪水”为事件，

则

在未来10年内该地区仍无特大洪水发生的概率是.

16.

【详解】当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，

从而，当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，

从而，

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：

函数的零点个数与方程的解的个数一致，

方程，可化为，

所以或，

由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.

故答案为：.

17.【详解】解：（1）由题意得等比数列的公比，且故

，分解得

所以

.

（2）设

.

18.（1）（2）

【详解】（1）设数列的公差为，

，

，

.

（2）由（1）可知，

数列的前项和为，

，

两式作差，得

，

.

19.（1）.（2）答案见解析.

详解：（1），

，

，则.

（2），

当时，在单调递减.

当时，和有有，

则在和上单调递减，在上单调递增.

当时，和有有，

则在和上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在单调递减.

当时，在和上单调递减，在上单调递增.

当时，在和上单调递减，在上单调递增.

20.（1）（2）分布列见解析，

解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束

其概率为.

故第二局比赛结束时比赛停止的概率.

依题意知，的所有可能值为.

表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，

表示前二局的比分为，第三四局有一队连胜2局，

表示前二局的比分为且前4局的比分为，

所以随机变量的分布列为：

所以

21.（1）（2）.

【详解】（1）由题设：，解得，

椭圆的方程为；

（2）的面积，

设，

①当轴时，，

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

由已知，得，

把代入椭圆方程消去，整理得，

有，

，当且仅当即时等号成立，

又当时，，

22.（1）的定义域为，

当时，恒成立，故在上单调递减；.

当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；

综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）可知，要想有两个相异的零点，

则，不妨设，

因为，所以，

所以，

要证.，即证，

等价于，而，

所以等价于证明即，

令，则，于是等价于证明成立，

设

，

所以在上单调递增，

故，即成立，

所以，结论得证.