湖北十堰六校教学合作体2024~2025学年高二下册5月联考数学试卷[附解析]

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一、单选题（5*8）
1. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
2. 设，化简（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理化简即可．
【详解】，
故选：C．
3. 已知的分布列如图所示，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分布列性质，求得，由期望的公式，可得，再根据，即可求解.
【详解】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，
所以随机变量的期望为，
又由，可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.
4. 已知函数，则“”是“函数为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的导函数，利用导数与单调性的关系求出函数为增函数时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：因为，所以，所以当时，函数在定义域上单调递增，因为，所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，
故选：A
5. 将编号为1、2、3、4、5、6小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A. 90B. 135C. 270D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.
【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有种，
剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，
假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，
则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，
剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，
所以不同的放法种数为种选法.
故选：B.
6. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导，再令，可得出关于的方程，即可解出的值.
【详解】∵，则，
令得，解得.
故选：D.
7. 2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此7天中，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解.
【详解】解：，得.
故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题.
8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为Dd，子二代的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可.
【详解】子二代基因配型有6种情况，分别记为事件,
“子三代基因型为高茎”记为事件，则
,
故选：B
二、多选题（6*3）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. ，则
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导.
【详解】对于选项A： ，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据排列数公式可直接判断A；根据组合数公式计算可判断B；由组合数性质可判断C；利用排列数公式直接计算可判断D.
【详解】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A 事件与事件相互独立B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断.
【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
三、填空题（5*3）
12. 的展开式中的系数为___________.
【答案】12
【解析】
【分析】写出展开式的通项公式，分和两种情况，分别求出的系数，求和即可．
【详解】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的对应的应满足，此时符合要求，对应系数为；的展开式中的对应的应满足，此时无解.所以的展开式中的系数为12.
故答案为：12.
13. 甲､乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若比赛采用3局2胜制（即先胜两局者获胜），则乙获胜的概率是___________.
【答案】0.352.
【解析】
【分析】乙获胜的情况有两种：一是乙连胜前2局；二是前2局乙一胜一负，第三局乙胜.由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出乙获胜的概率.
【详解】乙获胜的情况有两种：一是乙连胜前2局；二是前2局乙一胜一负，第三局乙胜.
则乙获胜的概率为：.
故答案为：0.352.
14. 已知点A在曲线上，点B在直线上，则点A，B之间的距离的最小值为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据点A，B之间的距离的最小时，点A处的切线与直线平行求解即可
【详解】由题意，当点A，B之间的距离的最小时，点A处的切线与直线平行.又，故当时，，故此时.故点A，B之间的距离的最小值为到直线的距离.
故答案为：
四、解答题
15. 已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1），当时，，两式相减得，即可求得通项公式；
（2）求出，利用裂项求和的方式求数列的前项和.
【详解】（1）由，得.
当时，，两式相减得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
（2）因为，
所以，
所以.
【点睛】此题考查求数列的通项公式和数列求和，涉及裂项相消求和方法，属于基础题目.
16. 已知函数，为的导函数．
（1）求函数的单调性；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；
（2）最大值为9，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先对函数化简后，再对函数求导，然后由导数的正负可得到函数的单调性；
（2）通过列出函数与的变化求出函数的极值，再求出，然后与极值比较可求出函数的最值.
【小问1详解】
.
，
令，解得，
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，函数与的变化如下表：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，，
又，
可知函数的最大值为9，最小值为.
17. 有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）含有女生但人数必须少于男生；
（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
【答案】（1）5400
（2）3360 （3）360
【解析】
【分析】（1）由题意可得男女的人数，根据分组分配，可得答案；
（2）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案；
（3）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案.
【小问1详解】
先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先选有种方法，后排有种方法，
所以共有不同选法（种）.
【小问2详解】
分步：
第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法；
第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法；
第三步，选出的4人排列，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.
【小问3详解】
第一步，安排某男生，有种方法；
第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法；
第三步，选出的3人排列，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.
18. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：
（1）展开式中二项式系数最大项的项；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）展开式中所有有理项.
【答案】（1）
（2）和
（3）和
【解析】
【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；
(2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【小问1详解】
因为展开式的通项公式为，，
所以
依题意得，即，由已知,
所以，
所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，即，
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
【小问3详解】
由为有理项知，为整数，得，，
所以展开式中所有有理项为和.
19. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，．
（1）求与；
（2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列；
（3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值．
附：若，则，，．
【答案】（1），
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而可得分布列，
（3）根据正态分布的性质，结合区间的概率以及二项分布的期望公式即可求解.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
竞赛成绩“优秀”的学生有3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，．
则X的分布列为：
【小问3详解】由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，
则，
∴这100名学生的测试成绩恰好落在区间的入数为，
∴．
ξ
1
2
3
4
P
m
事件
配型

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
X
0
1
2
3
P