上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试题（含答案解析）

这是一份上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 函数在处的瞬时变化率为__________．
2. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.
3. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______.
4. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是______．
5. 若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是___________.
6. 若在上的最大值为，则实数的最大值为__________.
7. 若，则_____.
8. 已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是________.
9. 已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为__________.
10. 若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为_________.
11. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______．
12. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为______
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ）
14. 若函数，则等于（ ）
15. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
16. 已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
17. （1）已知关于，的方程组的解都为正数，求实数的取值范围.
（2）已知，，，，试比较与大小，并说明理由.
18. 已知函数，不等式的解集为.
(1)求实数a，b的值；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围.
19. 设为实数，已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)求证：是增函数．
20. 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线的焦点为.
(1)求抛物线上任一点处的切线的方程，其中是该切线与轴的交点.
(2)证明：，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行.
21. 已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．
(1)若，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率．
上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：函数与导数、平面解析几何、复数、等式与不等式、初中衔接知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．0
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
12
适中
5
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
瞬时变化率的概念及辨析
2
0.94
指数函数图像应用
3
0.85
直线斜率的定义；直线法向量的概念及辨析；直线的倾斜角
4
0.94
根据方程表示双曲线求参数的范围
5
0.85
分段函数的值域或最值；函数不等式恒成立问题
6
0.65
根据函数的最值求参数
7
0.85
导数定义中极限的简单计算
8
0.85
抛物线的焦半径公式；根据抛物线上的点求标准方程
9
0.65
轨迹问题——圆；由直线与圆的位置关系求参数
10
0.85
利用导数研究方程的根
11
0.4
求平面轨迹方程；距离新定义
12
0.4
与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数综合；基本不等式求和的最小值；求复数的模
二、单选题
13
0.85
基本不等式求和的最小值
14
0.85
求某点处的导数值；导数的运算法则；简单复合函数的导数
15
0.85
由方程研究曲线的性质
16
0.65
双曲线定义的理解
三、解答题
17
0.85
作差法比较代数式的大小；解含参数的一元一次不等式；方程组的解集
18
0.85
由一元二次不等式的解确定参数；函数不等式恒成立问题；利用函数单调性求最值或值域
19
0.85
定义法判断或证明函数的单调性；由奇偶性求参数；比较指数幂的大小
20
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；图形的性质；求平面两点间的距离
21
0.65
根据韦达定理求参数；求直线与抛物线相交所得弦的弦长；抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线中的直线过定点问题
序号
知识点
对应题号
1
函数与导数
1,2,5,6,7,10,14,18,19,20
2
平面解析几何
3,4,8,9,11,15,16,20,21
3
复数
12
4
等式与不等式
12,13,17,18
5
初中衔接知识点
20