上海市嘉定区第一中学2024−2025学年高二下3月月考 数学试题（含解析）

这是一份上海市嘉定区第一中学2024−2025学年高二下3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．函数 y=2x 在 x=2 处的瞬时变化率为_________．
2．若 x＜0 时，指数函数 y=a-1x 的值总大于1，则实数a的取值范围是___________.
3．若向量 a=1,-3 是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______.
4．若方程 x2k-4+y26-k=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是______．
5．若关于 x 的不等式 x+1+x-2＞a 对于一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是__________.
6．若 fx=x+1x 在 13,m 上的最大值为 103 ，则实数 m 的最大值为_________.
7．若，则 .
8．已知点 P-22,2 在抛物线 C:y2=2px 上，则点 P 到抛物线 C 焦点的距离是_______.
9．已知点 A-1,0 ， B1,0 ，若直线 l ： kx-y=0 上存在点 P ，使得 PB=2PA ，则实数 k 的取值范围为_________.
10．若方程 lnx-kx=0 有且仅有一个实数，则实数 k 的取值范围为________.
11．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点 Px1,y1 ， Qx2,y2 之间的“曼哈顿距离”为 dP,Q=x1-x2+y1-y2 ．对于平面上两定点 F1-2,0 ， F22,0 ，若动点 Mx,y 满足 dM,F1+dM,F2=6 ．记 M 的轨迹为 C ，则 C 的面积为______．
12．已知复数 z1,z2 满足 z1+1-i+z1-1+i=26 ， z2=p+8p+p+8pi （其中 p＞0,i 是虚数单位），则 z1-z2 的最小值为______
二、单选题（本大题共4小题）
13．x∈R ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为 2 的是（ ）
A． x+1x B． 2x+2-x
C． x2+4x2 D． x2+2+1x2+2
14．若函数，则等于（ ）
A．B．0C．1D．2
15．如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
16．已知双曲线 E:x2a2-y2b2=1a＞0,b＞0 ，圆 C:x-12+y2=9 与 x 轴的交点分别为 E 的一个顶点和一个焦点，设 F1,F2 分别为 E 的左，右焦点，若 P 为 E 右支上任意一点，则 PF22PF12+16 的取值范围为（ ）
A． 1,95 B． 0,113 C． 113,1 D． 0,1
三、解答题（本大题共5小题）
17．（1）已知关于 x ， y 的方程组 3x-y=2a-5x+2y=3a+3 的解都为正数，求实数 a 的取值范围.
（2）已知 a＞1 ， b＞1 ， M=a2a-1+b2b-1 ， N=b2a-1+a2b-1 ，试比较 M 与 N 大小，并说明理由.
18．已知函数 fx=x2+ax-2b+1 ，不等式 fx＜0 的解集为 -2,3 .
(1)求实数a，b的值；
(2)若对 ∀x∈1,2 ， fx-2+3k⩾0 恒成立，求实数k的取值范围.
19．设 m 为实数，已知函数 fx=1-m5x+1x∈R 是奇函数．
(1)求 m 的值；
(2)求证： fx 是增函数．
20．汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线 y2=4x 的焦点为 F1,0 .
(1)求抛物线上任一点 Px1,y1 处的切线 PQ 的方程，其中 Q 是该切线与 x 轴的交点.
(2)证明： ∠FPQ=∠FQP ，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（ x 轴）平行.
21．已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．
(1)若，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率．
参考答案
1．【答案】 -12 / -0.5
【详解】增量为 f2+d-f2=22+d-22=-d2+d ．
函数的平均变化率为 -d2+dd=-12+d ，
而 lim-12+d=-12 ． ∴f′2=-12 ．
2．【答案】 1,2
【详解】由指数函数的性质可得 0＜a-1＜1
解得 1＜a＜2 .
3．【答案】 π6
【详解】因为向量 a=1,-3 是直线l的一个法向量，
所以直线l的斜率 k=-1-31=33 ，设直线l的倾斜角为 α ，
则 k=tanα=33 ，又 α∈0,π ，
所以直线l的倾斜角 α=π6 .
4．【答案】 -∞,4
【详解】由方程 x2k-4+y26-k=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，
所以 k-4＜06-k＞0 ，解得 k＜4 ，所以 k 的取值范围是 -∞,4 ．
5．【答案】 -∞,3
【详解】 x⩽-1 时， x+1+x-2=-x-1-x+2=-2x+1⩾3 ，
-1＜x＜2 时， x+1+x-2=x+1-x+2=3 ，
x⩾2 时， x+1+x-2=x+1+x-2=2x-1⩾3 ，
则 x+1+x-2⩾3 ，
故 a＜ ，
故实数 a 的取值范围是 -∞,3 .
6．【答案】 3
【详解】由 fx=x+1x=103 可得 3x2-10x+3=0 ，解得 x=13 或 x=3 ，
由对勾函数的单调性可知，函数 y=x+1x 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，
当 13＜m⩽1 时，函数 fx 在 13,m 上单调递减，此时 fxmax=f ；
当 m＞1 时，函数 fx 在 13,1 上单调递减，在 1,m 上单调递增，
由题意可得 fm⩽f3=103 ，此时， 1＜m⩽3 .
综上， 13＜m⩽3 ，因此，实数 m 的最大值为 3 .
7．【答案】
【详解】由题意：，
所以.
8．【答案】 924
【详解】因为点 P-22,2 在抛物线 C:y2=2px 上，
所以 4=-42p ，解得 p=-22 ，
所以抛物线 C:y2=-2x ，其准线方程为 x=24 ，
所以点 P 到抛物线 C 焦点的距离是 d=24+22=924 .
9．【答案】 -43,43
【详解】解：设点 Px,y ，
∵ 点 A-1,0 ， B1,0 ， PB=2PA ，
∴ x+12+y2=2×x-12+y2 ，整理得 x-532+y2=169 ，即点 P 在圆 x-532+y2=169 上，
又 ∵ 直线 l:kx-y=0 上存在点 P 使得 PB=2PA ，
∴ 圆 x-532+y2=169 与直线 l:kx-y=0 有交点，
∴ 圆心 53,0 到直线 l 的距离 d=53kk2+-12⩽43 ，解得 -43⩽k⩽43 ，即 k∈-43,43 .
10．【答案】 k=1e 或 k⩽0 ，
【详解】由 lnx-kx=0 可得 k=lnxxx＞0 ，
记 fx=lnxxx＞0 ，则 f′x=1-lnxx2 ，
故当 x∈e,+∞ 时， f′x＜0 ， fx 单调递减，
当 x∈0,e 时， f′x＞0 ， fx 单调递增，
又 fe=1e ，且当 x→+∞,fx→0;x→0,fx→-∞ ， 0＜x＜1 时 fx＜0 ，
故作出 fx 的大致图象如下：
故 lnx-kx=0 有且仅有一个实数，则 k=1e 或 k⩽0 .
11．【答案】10
【详解】由 dM,F1+dM,F2=6 可得 6=x+2+y+x-2+y ，即 x+2+x-2+2y=6 ，
将 -x 代换 x ，方程不变，可知曲线 C 关于 y 轴对称；
将 -y 代换 y ，方程不变，可知曲线 C 关于 x 轴对称；
根据 x ， y 对称性可知，只需讨论 x⩾0 ， y⩾0 即可．
此时 6=x+2+x-2+2y=4+2y,0⩽x⩽22x+2y,x＞2 ，所以 y=1,0⩽x⩽2-x+3,x＞2 ，
可得轨迹 C 在第一象限内与 x 轴和 y 轴所围成的面积为 12×1×2+3=52 ，
所以 C 的面积为 4×52=10 ．
12．【答案】6
【详解】设 z1=x+yi ，（其中 x∈R,y∈R,i 是虚数单位）， z1 在复平面的对应点 Z1x,y ，
则 z1+1-i+z1-1+i=∣x+1+y-1i+x-1+y+1i∣
=x+12+y-12+x-12+y+12=26 ，
即点 Z1 的轨迹是以 -1,1,1,-1 为焦点的椭圆，
且该椭圆的长轴在直线 y=-x 上，短轴在直线 y=x 上．
长半轴长为 a=6 ，半焦距 c=121+12+1+12=2 ，短半轴长为 b=a2-c2=2 ．
因为 p＞0 ，所以 p+8p⩾2p×8p=42 （当且仅当 p=8p 即 p=22 时等号成立）．
设 z2 在复平面的对应点为 Z2p+8p,p+8pp＞0 ．
即点 Z2 的轨迹为射线 y=xx⩾42 ．如图，

若使得 z1-z2 最小，则需 Z1Z2 取得最小值，
即点 Z1 为椭圆在第一象限内的短轴端点，点 Z2 为射线 y=xx⩾42 的端点时， Z1Z2 最小．
z1-z2min=Z1Z2min=OZ2-b=42-02+42-02-2=8-2=6 ．
13．【答案】B
【详解】对于选项A，当 x＜0 时， x+1x＜0 ，所以选项A错误，
对于选项B，易知 2x＞0 ，因为 2x+2-x=2x+12x⩾22x⋅12x=2 ，
当且仅当 2x=12x ，即 x=0 时取等号，所以选项B正确，
对于选项C，易知 x≠0 ，所以 x2＞0 ，则 x2+4x2⩾2x2⋅4x2=4 ，
当且仅当 x2=4x2 ，即 x=±2 时取等号，所以选项C错误，
对于选项D，易知 x2+2⩾2 ，又 x2+2+1x2+2⩾2x2+2⋅1x2+2=2 ，
当且仅当 x2+2=1x2+2 取等号，但 x2+2=1x2+2 无解，
所以 x2+2+1x2+2＞2 ，故选项D错误，
故选B.
14．【答案】D
【详解】依题意，，所以.
故选：D.
15．【答案】A
【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误；
对于B：令，可得，解得或，不合题意；
故选：A.
16．【答案】C
【详解】圆 C:x-12+y2=9 与 x 轴的交点分别为 -2,0,4,0
故 a=2,c=4 ，根据双曲线定义得 PF1-PF2=2a=4 ，即 PF2=PF1-4 ,
令 t=PF1∈6,+∞ ，则 PF22PF12+16=t-42t2+16=t2-8t+16t2+16=1-8t+16t ，
又函数 y=t+16t 在区间 2,4 上单调递减，在区间 4,+∞ 上单调递增，故 t+16t∈263,+∞ ，
所以 PF22PF12+16=1-8t+16t∈ 113,1 .
故选C.
17．【答案】（1） 1,+∞ ；（2） M⩽N
【详解】（1）根据方程组 3x-y=2a-5x+2y=3a+3 ，解得 x=a-1y=a+2 ，
又因为关于 x ， y 的方程组的解都为正数，
所以 x=a-1＞0y=a+2＞0 ，解得 a＞1a＞-2 ，即 a＞1 ，
所以实数 a 的取值范围为 1,+∞ .
（2）因为 M=a2a-1+b2b-1 ， N=b2a-1+a2b-1 ，所以
又因为 a＞1 ， b＞1 ，
所以 a-1＞0 ， b-1＞0 ， a+b＞0 ， a2-b2⩾0 ，
所以 M-N=-a+ba-b2a-1b-1⩽0 ，即 M⩽N ，
当且仅当 a=b 时 M=N .
18．【答案】(1) a=-1b=72
(2) k⩾83 .
【详解】（1）因为 x2+ax-2b+1＜0 的解集为 -2,3 ，
所以 x2+ax-2b+1=0 的两根为 -2 和3，
所以 -a=-2+3=1,-2b+1=-2⋅3=-6, 解得 a=-1b=72 .
（2）由（1）得 fx=x2-x-6 ，
∀x∈1,2 ， fx-2+3k⩾0 ，即 fxmin-2+3k⩾0 ，
因为当 x∈1,2 时， fx 单调递增，
所以 fxmin=f1=-6 ，即 3k⩾8 ，解得 k⩾83 .
19．【答案】(1)2
(2)证明见解析
【详解】（1）函数 fx=1-m5x+1x∈R 是奇函数，
则 f0=1-m50+1=0 ，解得 m=2 ，
经检验，当 m=2 时， fx=1-25x+1=5x-15x+1 ，
则 f-x=5-x-15-x+1=1-5x1+5x=-fx ，则 fx 为奇函数，
所以 m 的值为2.
（2）由（1）可知， fx=1-25x+1 ，设 x1＜x2 ，
则 fx1-fx2=1-25x1+1-1-25x2+1=25x1-5x25x1+15x2+1 ，因为 x1＜x2 ，
所以 5x1-5x2＜0 ， 5x1+15x2+1＞0 ，
故 fx1-fx2＜0 ，即 fx1＜fx2 ，
所以 fx 是 R 上的增函数.
20．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当点 Px1,y1 在 x 轴上方时，由 y2=4x 得 y=2x ，
∴ y′=1x ，故在点P处切线的斜率为 k=1x1 ，
∴所求切线的方程为 PQ:y-y1=1x1x-x1 ，
由 y1=2x1 得， PQ:y=xx1+x1 .
当点 Px1,y1 在 x 轴下方时，由 y2=4x 得 y=-2x ，
∴ y′=-1x ，故在点P处切线的斜率为 k=-1x1 ，
∴所求切线的方程为 PQ:y-y1=-1x1x-x1 ，
由 y1=-2x1 得， PQ:y=-xx1-x1 .
综上得，当点 Px1,y1 在 x 轴上方时，切线 PQ 的方程为 y=xx1+x1 ；当点 Px1,y1 在 x 轴下方时，切线 PQ 的方程为 y=-xx1-x1 .
（2）不妨设点 P 在 x 轴上方，要证 ∠FPQ=∠FQP ，即证 FP=FQ .
在直线 PQ:y=xx1+x1 中，令 y=0 ，得 x=-x1 ，即 Q-x1,0 ，
∴ FQ=1+x1 ， FP=x1-12+y12=x1-12+4x12=x1+12=x1+1 ，
∴ FP=FQ ，故 ∠FPQ=∠FQP .
由镜面反射得， ∠α=∠β ，
∵ ∠α=∠FPQ=∠FQP=∠γ ，∴ ∠β=∠γ ，
∴对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（ x 轴）平行.
21．【答案】(1)；
(2)16；
(3).
【详解】（1）设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且，
所以由抛物线的性质可得，即，
因此线段中点到轴的距离为.
（2）因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等，
所以．
由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为，
由得．
则，
因此，
故当时，四边形面积取得最小值.
（3）由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为，
设的方程为,
，整理得，
设，由韦达定理，
所以，同理，
因为，所以，
即，因此，
故的方程为，
从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点，
所以，因此，即直线的斜率为.