山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张新媛
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，满足，，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
4.在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
6.某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第25百分位数约为70分
7.如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M为的中点时，平面
B．四面体的体积为定值
C．的最小值为
D．为定值9
11.已知函数，，则下列正确的选项有（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若函数是增函数，则实数的取值范围为
C．当时，若是函数与函数的交点，则
D．若，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若复数满足，则复数的虚部为 ．
13.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 .
14.若对任意，当时恒有，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，求三角形AOB面积．
16.（本小题满分15分）
2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立进健康生活方式，实现长期体重管理.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，取随机变量，求的值.
参考公式：，.
附：
17.（本小题满分15分）
已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求.
18．（本小题满分17分）
在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
(1)若，求甲以获胜的概率；
(2)求与的关系；
(3)证明：.
19.（本小题满分17分）
设函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)若且函数有两个不同的零点，，且，
①求实数的取值范围；
②试比较与的大小关系，并说明理由．年龄次数
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第一次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张新媛
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】集合为函数的定义域，集合为函数的值域，再根据交集的运算求解.
【详解】，，所以，
故选：D.
2.已知向量，满足，，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量夹角的余弦值，然后结合向量的数量积求出模即可.
【详解】因为，
所以，
解得，
所以.
故选：B.
3.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和.
【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，
当时，可知；
可得，则奇数项的二项式系数和为.
故选：B.
4.在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积.
【详解】由余弦定理得，代入，
整理可得，所以.
故选：B
5．已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象求出函数的解析式，然后由得出的值，最后利用二倍角公式求出的值.
【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得，
因此，，
当时，，，故，．
由可得，
由函数的最大值为3可得，因此，
由，得，
∴．
故选：A．
6.某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分
D．满意度计分的第25百分位数约为70分
【答案】C
【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确.
【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又，
解得，，故A正确；
对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；
对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误；
对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确.
故选：C.
7．如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.
【详解】取、的中点、，连接、、，
则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，
，得，，
在直角梯形中，，则，
则正四棱台的体积为.
故选：A.
8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A．B．1C．2025D．2026
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和.
【详解】由可得：，又因为..，
所以，即的对称中心为；
由可得：，
即（常数），
令，则，所以，即的对称轴为；
所以，，故，，
所以，的周期.
因为，所以；
因为，令代入，所以；
根据对称性可知：，，，，
所以.
故选：D
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确；
对于C，若，，则，则，即，必要性成立；
若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误；
对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确.
10.如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M为的中点时，平面
B．四面体的体积为定值
C．的最小值为
D．为定值9
【答案】ABD
【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由平面可得到平面距离为定值，据此可判断选项正误；对于C，将平面沿折叠，使平面与平面重合，然后由余弦定理结合题目信息可得最小值；对于D，注意到在方向上的投影向量为，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，因平面，
则平面平面.因几何体为直棱柱，，则，又M为的中点，则.
又由题可得平面，平面，则.
因平面，，
则平面，即平面，故A正确；
对于B，由题可得，又平面，平面，
则平面，又由A分析可知，平面平面，
则平面，从而到平面距离为定值，
又也为定值，则四面体的体积为
为定值；
对于C，如图，将平面沿折叠，使平面与平面重合，
使变为，则当三点共线时，最小.
因，，结合几何体为直棱柱.
则，为等腰直角三角形，，
又，则，则由余弦定理：
，
则的最小值为，故C错误；
对于D，，由题可得，则在方向上的投影向量为，则，故D正确.
故选：ABD
11.已知函数，，则下列正确的选项有（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．若函数是增函数，则实数的取值范围为
C．当时，若是函数与函数的交点，则
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于选项A，通过复合函数定义域的求法即可求解；对于选项B，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与最值计算即可求解；对于选项C，通过变形得到，解出，即可得出结果；对于选项D，通过分类讨论含参函数的单调性，得出，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可求解.
【详解】对于选项A，因为的定义域为，所以，
所以，所以的定义域为，故A正确；
对于选项B，因为，且是增函数，
所以，且在定义域上恒成立，
则在上恒成立.
令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以在时取到最小值，即，所以，
所以实数的取值范围为，故B错误；
对于选项C，因为， ，
当时，，
因为是函数与函数的交点，
所以，
即，即，
所以，所以，，
所以，故C正确；
对于选项D，若，则，
令，则，
（1）当，即时，则，此时在上单调递增，
且当时，，不符合题意；
（2）当，即，令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以时，取到最小值，
即
即，
所以，
令，则，
易知当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
即当时，取到最大值，即，
所以，
当且仅当，时，
取到最大值，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：构造函数，利用导数研究其单调性及最值是解决函数问题最重要的方法.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若复数满足，则复数的虚部为 ．．
【答案】
【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得结果.
【详解】由题意可得，故复数的虚部为.
故答案为：.
13.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出的值，再结合双曲线的离心率公式以及来计算离心率.
【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为，所以.
双曲线的离心率（其中为双曲线的半焦距），且满足.
将两边同时平方可得，把代入可得.
由步骤1可知，将其代入上式可得.
因为，所以.
故答案为：.
14. 若对任意，当时恒有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先化简题设条件可得，用换元法将问题转化为在上没有零点，对参数分类讨论，并构造函数，利用导数求函数的最大值即可求解.
【详解】由得，
即，
设，则，所以问题转化为在上没有零点.
当0时，没有零点，满足题意；
当时，由得，
设，
则，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将题设化简整理，用换元法将问题转化为在上没有零点是解题关键，本题考查利用导数求函数的最大值，分类讨论思想，函数与方程思想，属于较难题.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，求三角形AOB面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得.
【详解】（1）依题意，，则，由离心率，得，得，
所以椭圆C的方程为. …………………………………………….5分
（2）由消去得，解得，
则弦长；
原点O到直线l：距离为：，
所以三角形AOB面积：. ………………………13分
16.（本小题满分15分）
2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立进健康生活方式，实现长期体重管理.结合健康中国建设工作实际和健康中国行动推进情况，决定将健康体重管理行动、健康乡村建设行动和中医药健康促进行动纳入健康中国行动，助力公众摆脱肥胖困扰，迈向健康生活.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，取随机变量，求的值.
参考公式：，.
附：
【答案】(1)表格见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关
(2)
【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据分层随机抽样可知年龄在，内的人数分别为1，2，分析可得的所有可能情况为，；，；，，进而求解即可.
【详解】（1）由题得列联表如下：
零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. ……...…..7分
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能情况为，；，；，，
；；；
所以. …………分
17.（本小题满分15分）
已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出；
（2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案.
【详解】（1）为等差数列，故，
因为，，所以，
整理得，解得或，
当时，，当时，，
因为，所以，，故，
此时，所以，
因为等比数列的首项，公比为3，得. ……………………8分
（2）由题，，
，
，
两式相减得
，
故. …………………………………………………………15分
18．（本小题满分17分）
在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
(1)若，求甲以获胜的概率；
(2)求与的关系；
(3)证明：.
【答案】(1)0.176；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合已知求出概率.
（2）根据给定条件，利用全概率公式列式即可.
（3）由（2）的结论，利用构造法，结合等比数列定义求出通项，再作差判断单调性即可推理得证.
【详解】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲，
所以甲以获胜的概率为. ….5分
（2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件，
，，，
依题意，，
所以. ………………………………………….10分
（3）由（2）知，，
而，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此，即，
由，得，则数列递增，
所以. …………………………………………分
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
19.（本小题满分17分）
设函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)若且函数有两个不同的零点，，且，
①求实数的取值范围；
②试比较与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性.
（2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ……….5分
（2）①当时，，
函数有两个不同的零点，
等价于方程有两个不同的根，
等价于函数的图象与直线有两个不同的交点，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，，
所以的取范围为. …………………………………分
②，不妨令，
，
由①知，，即，而，
只需证明，即证，令，
令，求导得，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以. .…………………………………17分
年龄次数
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400