山西大学附属中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数为奇函数且，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
5. 已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ）
A. 克B. 克C. 克D. 克
7. 若数列满足，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数，满足．若函数存在零点，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ）
A. 超过大学生更爱使用购物类APP
B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是
10. 在正方体中，点为棱中点，则（ ）
A. 过有且只有一条直线与直线和都相交
B. 过有且只有一条直线与直线和都垂直
C. 过有且只有一个平面与直线和都平行
D. 过有且只有一个平面与直线和所成角相等
11. 已知，记为集合中元素个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
三、填空题
12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______.
13. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．
14. 如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.
15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中．
（1）求及通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16. 某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

（1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据：；若，则，，．
17. 如图，侧面水平放置正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
18. 已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
19. 定义可导函数p（x）在x处函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
（1）求出f（x）的“优秀区间”；
（2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．