广西部分学校2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西部分学校2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知直线， 已知，是双曲线等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为，
所以的共轭复数是.
故选：D
2. 已知集合，，则的元素个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【详解】由题意可得，则，
故有2个元素.
故选：B
3. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为，则，
所以，，
所以椭圆的离心率.
故选：B
4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】A
【详解】由题意可得，
则.
故选：A.
5. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】由题意可得.因为是上的增函数，
所以在上恒成立，
所以，解得.
故选：B.
6. 已知三棱柱的所有顶点都在半径为的球的球面上，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设，则，，所以外接圆的半径.
因为三棱柱的所有顶点都在半径为的球的球面上，
所以，即，解得，所以.
故选：C.

7. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 不确定
【答案】C
【详解】由题意可得直线：过定点.
因为，所以点在圆内，
则直线与圆相交.
故选：C
8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（ ）
A. B. C. 9D. 18
【答案】A
【详解】∵，，且，，
∴，，
∴，即.
∵，
∴，.
∵，
∴，
则的面积是.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 如图，这是某班20名同学暑假的课外阅读量的折线统计图，则（ ）

A. 这20名同学暑假的课外阅读量的众数是3
B. 这20名同学暑假的课外阅读量的极差是5
C. 这20名同学暑假的课外阅读量的中位数是3.5
D. 这20名同学暑假的课外阅读量的平均数是3.4
【答案】BCD
【详解】由图可知：
则众数为4，极差是，
中位数是，平均数是，
所以A错误，BCD正确.
故选：BCD
10. 已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（ ）
A. 当时，双曲线的实轴长为4
B. 当时，
C. 无论取何值，双曲线的焦距都为
D. 当时，双曲线的渐近线方程为
【答案】AB
【详解】由双曲线的方程为，依题意，，
注意到，故，设双曲线方程为.
B选项，由，即，则，解得，B正确；
C选项，，，则，
所以，所以双曲线的焦距为，C错误；
A选项，由，得双曲线的方程为，即，
则双曲线的实轴长为4，A正确；
D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误.
故选：AB
11. 若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】设，则，，.
如图，作出函数，，的图象，
a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标.
由图可知，随着的变化，可能出现，，.

故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则_________.
【答案】
【详解】因为，，
所以.
因为，
所以，
解得.
故答案为：
13. 在正四棱台中，，点到平面的距离为6，则正四棱台的体积是_________.
【答案】56
【详解】设正四棱台的高为，则.
由棱台体积公式可得正四棱台的体积是：
.
故答案为：56
14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________.
【答案】
【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件，
表示“第次投篮得2分”的事件.
，
，
，
所以分布列
故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表：
（1）分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率；
（2）试根据小概率值的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关.
参考公式：，.
参考数据：
【答案】（1），
（2）认为游泳人数与天气有关
【小问1详解】
由题意可知样本中该社区居民晴天游泳的频率为，
则该社区居民晴天游泳的频率的估计值为.
由题意可知样本中该社区居民雨天游泳的频率为，
则该社区居民雨天游泳的频率的估计值为.
【小问2详解】
零假设为：游泳人数与天气无关.
根据题中的数据，计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游泳人数与天气有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为，E为棱的中点，所以，
因为平面，平面，所以.
因为平面，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，平面，平面，且，所以平面.
【小问2详解】
取棱的中点，连接，
因为E为棱的中点，所以∥，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，，两两垂直，
所以以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，令，得.
由（1）可知平面的一个法向量为.
由，
所以二面角的正弦值为.
17. 在数列中，，，且（，）.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以.
因为，，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
则，故.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
所以，①
，②
由①②得，
即，
则.
18. 已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）证明：对任意的正整数，都有.
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【18题详解】
因为，所以，则.
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，即的值为.
【19题详解】
由（1）可知，则.
设，则.
显然在上恒成立，
则在上单调递增，即在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，
则在上单调递增，
故，即在上的最小值为.
【20题详解】
证明：由（2）可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令，则，
所以，，，…，，
所以，
即，
故.
19. 已知抛物线：（）的焦点为F，O是坐标原点，（异于点）是抛物线上一点，且点到轴的距离是点到轴距离的2倍，且点到抛物线的准线的距离是.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与拋物线相切于点（），过点作直线的垂线交抛物线于另一点，交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点）.
①当时，求的面积；
②当直线的斜率取得最小值时，求的值.
【答案】（1）
（2）①；②
【小问1详解】
设，，由题意可得，解得，
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
①由题意可知.
因为，所以，所以直线斜率为.
因为直线与直线垂直，故的方程为，即，
将代入，得，即，
解得或，则点的坐标为.
因为直线与轴交于点，所以点的坐标为.
设，则，解得（舍去），则的坐标为，
故点到直线的距离.
因为，，所以，
则的面积为.
②因为，所以直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即，即.
将代入，得，即，
即，
解得或，则点的坐标为.
因为直线与轴交于点，所以点的坐标为.
设，则，解得（舍去），
则点的坐标为，
又点关于轴的对称点为点，则点的坐标为
故直线的斜率.
设（），则.
令，得，
则存在，使得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
故当时，取得最小值，即当时，直线的斜率取得最小值，
此时，，，又，
所以
.
课外阅读量（本）
1
2
3
4
5
6
频数
2
3
5
6
3
1
X
3
4
5
6
P
0.18
0.32
0.32
0.18
天气
游泳人数
未游泳人数
合计
晴天
60
40
100
雨天
30
70
100
合计
90
110
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828