广西柳州市2026届新高三上学期摸底考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.
【详解】因为复数满足，
因此，复数的虚部为.
故选:D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性解不等式计算得出集合B，应用交集定义计算求解.
【详解】集合，
则.
故选：B.
3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差．
【详解】因为，所以，解得，
又，所以，
所以公差为.
故选：A．
4. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 10C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式即得.
【详解】的展开式的通项为，
，
则含的项的系数是.
故选：A.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半圆和圆锥的表面积建立方程，然后解出方程即可.
【详解】设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由，得，
而，即，所以，圆锥的底面直径为4.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先应用两角和正切公式计算得出，再弦化切得出齐次式值.
【详解】因为，所以，
所以，则.
故选：D.
7. 已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数的图象与直线，

由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个实数解.
故选：C.
8. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆，得，
过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点，
所以为线段的垂直平分线，
得，
则的周长为.
故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量与之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 残差绝对值的最大值为0.4
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断A；从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，即可判断B；再令求出，即可预测第6年的利润，即可判断C，最后根据残差的定义求解判断D.
【详解】依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，
则，解得，故A正确；
回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误；
当时，，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确；
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
当时，，残差绝对值为，
所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确；
故选：ACD
10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. 直线是函数图象的一条对称轴D. 在的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D.
【详解】由图象知 ， 解得 ，A正确；
将代入中得，则 ，
因为 ，B错误；
将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确；
因，所以，
即，D正确，
故选：ACD.
11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项.
【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数，
令，则恒成立，
所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D，
当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知与的夹角，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由与的夹角，
则.
故答案为：6.
13. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可.
【详解】由，两点在直线上，设（），
由对称性可知，，两点关于原点对称，所以，
由，两点的横坐标之积为，得，解得，
所以，代入双曲线方程得，解得，
所以，
所以离心率为.
故答案为：.
14. 在三棱锥中，，则这个三棱锥的外接球的半径等于_______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置，求出球半径即得.
【详解】在三棱锥中，过作平面于，连接，显然，
同理，因此点为的外心，三棱锥的外接球球心在射线上，
在中，，则，
由正弦定理得，解得，，
设三棱锥的外接球半径为，则，由，解得，
所以三棱锥的外接球的半径等于.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求的单调区间与极值.
【答案】（1），.
（2）递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.
【解析】
【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解.
（2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值.
【小问1详解】
由可得：
，，
则.
由直线方程可得：直线斜率为：.
因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以，解得：.
故，.
【小问2详解】
由（1）可得，
令，得；
令，得；
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数有极小值.
故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.
16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面为BC中点，且.

（1）求BC；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量垂直时数量积为的性质来求解的长度；
（2）先求出平面与平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出二面角的余弦值，最后根据三角函数关系求出正弦值.
【小问1详解】

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则各点坐标：
向量
由，得，解得，故
【小问2详解】
由(1)知，个点坐标：
向量
设平面的法向量为，由,
可得令得：
设平面的法向量为，由,
可得令得：
法向量夹角的余弦
则正弦值.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而利用和差角公式化简可求；
（2）由的面积为得，再由余弦定理得，从而可得，再由面积公式可得解.
【小问1详解】
根据题意，
则由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，
∴，由于，
则；
【小问2详解】
根据题意，的面积为即，
则，
又根据余弦定理，，则，
所以，即，
又由的面积，
所以.
18. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占．
表一：
表二：
（1）从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？
（2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议；
（3）现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望.
附：其中.
【答案】（1），，该中学高二年级学生的性别和身高有关联
（2）答案见解析 （3）第70百分位数为171.5，分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式可求出、的值，即可作出判断；
（2）提出零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，结合实际情况可得出合理的建议；
（3）根据百分位数的定义求出第70百分位数，进而分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【小问1详解】
由表格中的数据可得，，
所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联.
【小问2详解】
由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为，
则列联表如下：
零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关，
，
依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，
即该中学高二年级学生的身高与性别无关，
第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确，
而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性，
因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量或者男女生分层抽样.
【小问3详解】
将样本数据从小到大排序为：，
因为，所以这个样本的第70百分位数为，
则不大于第70百分位数的样本数据中，共人，其中男生有3人，女生有4人，
所以随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
故的分布列如下表所示：
因此.
19. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点.
（1）求点轨迹的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）（i）是，定点为；（ii）.
【解析】
【分析】（1）设圆心为，则半径为，得圆的方程，令得，令得，消去参数即可求解；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，与抛物线方程联立得点的坐标，进而得直线的方程，即可得直线的定点；
（ⅱ）利用两点间的距离公式求，求点到直线的距离公式，代入，最后利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
设圆心为，则半径为，所以圆的方程为：，
令得，令得或（舍去），
所以，所以的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）由题意有直线的斜率存在，设直线的方程为，则直线的方程为，
所以，所以，
设，所以，，
又，所以，同理得，
所以，
所以直线的方程为：，
化简整理有：，令，得，即，
所以直线过定点；
（ⅱ）由（ⅰ）有，，直线的方程为，
所以，
点到直线的距离为，
所以面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为.
第年
1
2
3
4
5
利润／亿元
2
3
4
5
7
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
360
90
450
男
100
450
550
合计
460
540
1000
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
25
男
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
25
15
40
男
25
35
60
合计
50
50
100