湖南省长沙市第一中学2022届高三下学期一模数学试卷 含解析

这是一份湖南省长沙市第一中学2022届高三下学期一模数学试卷 含解析，共15页。试卷主要包含了已知，则的值为，如图，，是双曲线，已知复数z满足等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“a⊥b”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用向题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，向各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，向五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数z满足（1-i）z=2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A．B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为iD．复数z是方程的一个根
10．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）
A线段A，B的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则
D．若向量垂直于向量，则
11．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中常数项为______（用数字作答）
14．已知直线l：与圆于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则______．
15．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．
①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．
16．已知数列的各项都是正数，．若数列各项单调递增，则首项的取值范围是______；当时，记，若，则整数______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若点D在边AC上（不与A，C重合）______，，求面积的最值．
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和．
19．（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱，，．在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
2022年北京冬奥会的成功举办在全国又掀起了运动的浪湖．墩墩和容融两个小朋友相约打羽毛球．已知两人在每一局比赛中都不会出现平局，其中墩墩每局获胜的概率均为．
（1）若两人采用五局三胜制，则墩墩在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若两人采用三局两胜制．且，则比赛结束时，求墩墩获胜局数X的期望；
（3）五局三胜制和三局两胜制，哪种赛制对墩墩获得比赛胜利更有利？
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．（）在处的切线l方程为．
（1）求a，b，并证明函数的图象总在切线l的上方（除切点外）；
（2）若方程有两个实数根，．且．证明：．
长沙市一中2022届模拟试卷（一）
数学参考答案
一、二、选择题
1．B 【解析】由题设，，，则由知集合B中包含元素2，4，由知集合B中包含元素1，6，∴，故选B．
2．B 【解析】（充分性）∵，，，∴或或b与β相交，∴b不一定垂直β，故充分性不成立；（必要性）当，，时，若，则，若，则β内至少有一条直线，又∵，所以，所以，所以必要性成立；综上可知，“”是“”的必要不充分条件，故选B．
3．A 【解析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入增长，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为，建设前，其他收入为4%a，故，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为，建设前，养殖收入为30%a，故，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为，经济收入为2a，故，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选A．
4．B 【解析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，故，，解得，，，故任意两人所得的最大差值为．故选B．
5．B 【解析】因为，所以，可得，两边平方，可得，则．故选B．
6．A 【解析】∵函数为偶函数，∴函数的图象关于对称，因为对任意，且，都有，故函数在上单调递减，根据函数的对称性可知，函数在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，故，故选A．
7．A 【解析】连接，，设，则由题意可得，因为，为双曲线上的点，所以，，因为为的中点，且，所以，所以，所以，所以，，，在直角三角形中，，所以在三角形中，由余弦定理可得，所以可得，则，故选A．
8．C 【解析】令，则，故当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，由已知，，，可知，，，，，，由函数在上为增函数，则有，而又因为，，，则有a，b，c肯定在内，函数在上为减函数，可知．故选C．
9．ABD 【解析】由题意，，∴，故A正确，复数的共轭复数为，故B正确，复数的虚部为1，故C错误，，所以复数是方程的一个根，故D正确，故选ABD．
10．AC 【解析】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；当向量，是相互垂直的单位向量时，由两点间的距离公式B正确，否则B错误；与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，则，即，，，所以，故C正确；当与为相互垂直的单位向量时，与垂直的充要条件是，故D不正确；故选AC．
11．ACD 【解析】∵函数的图象关于直线对称，∴，，∵，∴，∴．对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性，因此函数是奇函数，故A正确；对于B，由于，，函数在上不单调，故B错误；对于C，因为，，又因为，的周期为，所以的最小值为，C正确；对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D正确．故选ACD．
12．ACD 【解析】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确；当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，取圆弧中点时．故D正确．故选ACD．
三、填空题
13．-128 【解析】由已知得：的展开式的通项为，，1，…，6，而原式可化为：，的展开式中的常数项和项分别为，，所以原式的常数项为：．
14．4 【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线：，∴直线的倾斜角为30°，∵过A，B分别作的垂线与轴交于C，D两点，∴．
15．①③ 【解析】因为与不可能同时发生，所以与互斥，包含：，，，，5个基本事件，包含：，，，，，6个基本事件，
故，，，，，，．故选①③．
16． -4（第一空2分，第二空3分）
【解析】∵，∴，
又∵正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴，．
∴．
又由，可得．∴．
∵，
∴
．
∵，且数列是递增数列，
∴，即，∴．∴整数．
四、解答题
17．【解析】（1）由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．………………………………………………5分
（2）若选①，则，∴．
∴．
当且仅当时取得最大值，无最小值．…………………………………………10分
若选②，∴，
∴，．
∴．
当且仅当时取得最小值，无最大值．………………………………………………10分
若选③．
∵，∴．
∴．
当且仅当时取得最小值，无最大值．…………………………………………10分
18．【解析】（1）由题意，当时，，
得，解得．
当时，，①
，②
①-②得，
因为，
所以．
则，
所以是以为首项，2为公比的等比数列．………………………………6分
（2）由（1）知，．
在数列中，项之前（含）共有，
所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项，
所以
．………………………………………………12分
19．【解析】（1）∵在底面上的射影为的中点，
∴平面平面，
∵，且平面平面，
∴平面，∴，
∵，且，
∴平面．……………………………………………………5分
（2）取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，
∵是的中点，∴，………………………………7分
∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量，
即∴取．……………………………………………………9分
平面的一个法向量，
∴，………………………………………………………………12分
设二面角的平面角为，为钝角，
∴，即二面角的余弦值为．…………………………………………12分
20．【解析】（1）表示墩墩在第一局失利，表示墩墩获得了比赛胜利，
则
．……………………………………………………3分
（2）的可能取值为0，1，2，则
；
；
；
故．……………………………………………………7分
（3）在五局三胜制中墩墩获胜的概率为：
；
在三局两胜制中墩墩获胜的概率为：
，
∵
，
∴当时，采用五局三制对墩墩更有利；
当时，采用三局两胜制对墩墩更有利．……………………………………12分
21．【解析】（1）设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分
（2）设，，
联立消元得
当，即时，
则，，………………………………………………5分
则
，
当为定值时，与无关，故，得，………………………………8分
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立．经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．……………………………………………………12分
22．【解析】（1）由题意，所以，
又，所以，
若，则，与予盾，故．…………………………2分
∴，，，
设在处的切线方程为，
令，
即，
当时，，
当时，设，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
综合得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
即函数的图象总在切线的上方（除切点外）．…………………………………………5分
（2）由（1）知，
设的根为，则，
又函数单调递减，故，故，
设在处的切线方程为，易得．
令，，
当时，，
当时，设，则，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
综合得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即．………………………………………………10分
设的根为，则，
又函数单调递增，故，
故，又，
．……………………………………12分