湖南省衡阳县第四中学2025-2026学年高三上学期开学摸底检测数学卷及参考答案

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分值：150 分 时间：120 分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，的一个极值点是，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
4. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. 15D. 20
5. 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）

A. 120B. 26
C. 340D. 420
7. 在等差数列中，若，则下列说法错误的是（ ）
A B.
C. 的最大值为D. 满足的的最大值为
8. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）．
A 0B. 36C. 72D. 108
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知圆方程为，则下列结论正确是（ ）
A. 的取值范围为
B. 若已知圆内，则
C. 若，则直线与圆相离
D. 若，圆关于直线对称的圆方程为
11. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 产品的销量与单价成负相关
B.
C. 若单价为50元时，估计其销量为44件
D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________.
13. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
14. 已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若在处的切线斜率为，求；
（2）若恒成立，求的取值范围．
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若且，求的值．
17. 已知数列是等差数列，是等比数列，．
（1）求，通项公式；
（2），，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
18. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.

（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值；
（3）求平面MAC与平面夹角的余弦值.
19. 已知椭圆C：的焦距为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．
①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．单价（元）
40
50
60
70
80
90
销量（件）
50
44
43
35
28