福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试题（含答案解析）

这是一份福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知双曲线的焦距为，则（ ）
2. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ）
3. 已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则（ ）
4. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ）
5. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
6. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）

7. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ）
10. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 设函数在．处存在导数为2，则__________．
13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）.

14. 已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
16. 已知函数在处取得极大值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值．
17. 如图，在四棱锥中，底面，点满足.
(1)若平面，求的值；
(2)若，求平面与平面所成的二面角的正弦值.
18. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点
①求证：；
②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.
19. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）求证：对任意正整数，都有（其中，为自然对数的底数）.
福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、计数原理与概率统计、函数与导数、数列、空间向量与立体几何、竞赛知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．种
B．种
C．24种
D．10种
A．在上单调递增
B．的最大值为
C．的一个极大值点为
D．在上单调递减
A．49
B．56
C．63
D．112
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
A．
B．
C．1
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
3
适中
10
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求双曲线的焦距
2
0.94
分步乘法计数原理及简单应用
3
0.85
函数与导函数图象之间的关系；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数极值点的辨析
4
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列片段和性质及应用
5
0.85
根据极值求参数
6
0.85
瞬时变化率的概念及辨析；锥体体积的有关计算；基本初等函数的导数公式
7
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式
8
0.65
利用导数研究能成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性
二、多选题
9
0.94
过圆外一点的圆的切线方程
10
0.65
利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值；导数新定义
11
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；构造函数；根据函数的单调性求参数值
三、填空题
12
0.94
导数定义中极限的简单计算
13
0.65
涂色问题；分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用
14
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
四、解答题
15
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；错位相减法求和；等差数列前n项和的基本量计算
16
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；根据极值点求参数
17
0.65
面面角的向量求法；由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置；求二面角；线面平行的性质
18
0.65
求平面轨迹方程；椭圆中的定值问题
19
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,9,18
2
计数原理与概率统计
2,13
3
函数与导数
3,5,6,7,8,10,11,12,14,16,19
4
数列
4,15
5
空间向量与立体几何
6,17
6
竞赛知识点
11