2024-2025学年甘肃省甘南州夏河县藏族中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省甘南州夏河县藏族中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)=0
B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
2.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. 1010B. 15C. 3 1010D. 35
3.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)0成立的x的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,0)∪(1,+∞) C. (−∞,−1)∪(−1,0) D. (0,1)∪(1,+∞)
4.已知AB=a，AC=b，BN=13BC，GA+GN+GC=0，则AG=( )
A. 23a+13bB. 23a+43bC. 29a+49bD. 49a+89b
5.记动点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为( )
A. (0,1)B. (13,1)C. (0,13)D. (1,3)
6.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，f(2022)=e2022，则不等式f(13lnx)0的解集为______．
13.若向量a=(x,−4,−5)，b=(1,−2,2)，且a与b的夹角的余弦值为− 26，则实数x的值为______．
14.已知侧棱长为 3的正四棱锥S−ABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为 ，此时球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax−1．
(1)若a=1，求函数f(x)的最小值；
(2)若函数f(x)的单调递增区间为[2,+∞)，求实数a的值．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(Ⅰ)求证：BC1//平面AD1E；
(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=2处有极值−2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−2,3]上的最值．
18.(本小题15分)
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．
(Ⅰ)设点M为棱PD中点，求证：EM//平面ABCD；
(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，AE⊥CD，垂足为E，AB=AE=12CE=1，DE= 2.将△ADE沿AE翻折到△PAE，如图2所示．M为线段PB的中点，且ME⊥PC．
(1)求证：PE⊥EC；
(2)设N为线段AE上任意一点，当平面BMN与平面PCE所成锐二面角最小时，求EN的长．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.C
5.B
6.A
7.C
8.C
9.ABC
10.AB
11.BCD
12.(1,π2)∪(−1,0)
13.−3
14.2；9π
15.(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，
则f′(x)=ex−1，由f′(x)=0得x=0，
由f′(x)0．
∴f(x)单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)．
∴函数f(x)的最小值为f(0)=0．
(2)由题意，函数的定义域为R，f′(x)=ex−a，
①当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，不合题意；
②当a>0时，由f′(x)>0，即ex−a>0得x>lna，
∴f(x)的单调递增区间为[lna,+∞)，由已知得lna=2，
∴a=e2．
16.解：(Ⅰ)由正方体的性质可知，AB/​/C1D1中，且AB=C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1/​/AD1，
又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1/​/平面AD1E.
(Ⅱ)解法一：以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则A(0,0,0)，A1(0,0,a)，D1(a,0,a)，E(0,a,12a)，
∴AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，
设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AD1=0m⋅AE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，
令z=2，则x=−2，y=−1，∴m=(−2,−1,2)，
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=|cs|=|m⋅AA1|m|⋅|AA1||=2aa⋅3=23，
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
解法二：设正方体的棱长为2a，则AD1=2 2a，AE= 5a，ED1=3a，S△AA1D=12⋅2a⋅2a=2a2，
由余弦定理知，cs∠EAD1=AD12+AE2−ED122⋅AD1⋅AE=8a2+5a2−9a22⋅2 2a⋅ 5a= 1010，
∴sin∠EAD1=3 1010，
∴S△EAD1=12AD1⋅AE⋅sin∠EAD1=3a2，
设点A1到平面EAD1的距离为ℎ，
∵VA1−EAD1=VE−AA1D，
∴13ℎ⋅3a2=13⋅2a⋅2a2，∴ℎ=43a，
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=ℎAA1=43a2a=23．
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
17.解：(1)函数f(x)=x3+ax2+b，则f′(x)=3x2+2ax，
因为f(x)在x=2处有极值−2，所以f(2)=−2f′(2)=0，
即8+4a+b=−212+4a=0，解得a=−3b=2，经检验，a=−3，b=2符合题意，
所以f(x)=x3−3x2+2；
(2)因为f(x)=x3−3x2+2所以f′(x)=3x2−6x=0，解得x=0或x=2，
当−2